3.1.1 第2课时 函数的表示方法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　函数的表示方法 [课标解读]1.函数的表示方法.2.函数图像的作用.3.分段函数． 知识点一　函数的表示方法 常用的函数的表示方法有三种：列表法、图像法和解析法，具体如下． 列表法 图像法 解析法(公式法) 定义 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法． 用“图形”表示函数的方法． 在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的方法． 优点 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值． 能直观、形象地表示出函数值的变化情况． 通过解析式可求出任意一个自变量所对应的函数值，且便于研究函数的性质． 缺点 列表法只能表示自变量取值为有限个的函数，且从表中很难看出函数的性质． 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大． 用解析式表示函数时容易漏掉定义域，而且对于一些实际问题，很难找到它的解析式． 由列表法和图像法的概念可知，函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y. 知识点二　函数的图像 1．函数的图像 一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即 F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}． 2．函数图像的作法 (1)函数图像的特征 函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． (2)描点法作函数图像的三个步骤(注意函数的定义域) (3)利用常见函数图像作出所求函数的图像 知识点三　分段函数 1．分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 2．分段函数的图像 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一平面直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用那个区间上的解析式来进行计算． (3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集． 1．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ C　[由题意设y＝(k≠0)，由题意知1＝，所以k＝2，所以y＝.故选C.] 2．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于(　　) x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 A.3 B．2 C．1 D．4 C　[由表中数据可得f(3)＝4，故f(f(3))＝f(4)＝1，故选C.] 3．(2021·海南省直辖县级行政区划期末考试)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　) A．－ B．2 C．11 D．4 D　[∵f(x)＝ ∴f(1)＝12＋2＝3， ∴f(f(1))＝f(3)＝3＋1＝4. 故选D.] 4．(2021·广东省单元测试)已知f(x)＋2f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝(　　) A．－3x＋ B．－3x C．－3x＋1 D．－x＋ A　[由f(x)＋2f(－x)＝3x＋1， 得f(－x)＋2f(x)＝－3x＋1， ∴ 解得f(x)＝－3x＋.故选A.] 5．若函数f(x)＝则f(f(－1))＝__________，函数f(x)的值域为__________． 解析：　由题意，得f(f(－1))＝f[(－1－1)2]＝f(4)＝4＋＝， 当x≤0，f(x)＝(x－1)2≥1，此时最小值为1； 当x>0时，f(x)＝x＋≥2 ＝2， 当且仅当x＝1时，取等号，此时最小值为2， 综上，函数f(x)的值域为[1，＋∞)， 故答案为；[1，＋∞). 答案：　　[1，＋∞) 题型一　函数的表示方法 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) (2)已知函数f(x)按下表给出，满足f[f(x)]>f(3)的x的值为________． x 1 2 3 f(x) 2 3 1 点拨：　(1)由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律． (2)观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较． 解析：　(1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. (2)由表格可知f(3)＝1， 故f[f(x)]>f(3)即为f[f(x)]>1. ∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1. 答案：　(1)D　(2)3或1 理解函数的表示法应关注三点 (1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．　　 即时练1.购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域． 解析：　解析法：y与x(x∈{1，2，3，4})之间的函数关系为： y＝2x，x∈{1，2，3，4}． 列表法，y与x(x∈{1，2，3，4})之间的函数关系为： x 1 2 3 4 y 2 4 6 8 图像法，y与x(x∈{1，2，3，4})之间的函数关系如下： 函数的值域为{2，4，6，8}． 题型二　求函数的解析式 根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知f＝，求f(x)； (2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x). 点拨：　(1)换元法：设＝t.注意新元的范围． (2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c. 解析：　(1)设t＝，则x＝(t≠0)， 代入f＝，得f(t)＝＝， 故f(x)＝(x≠0且x≠±1). (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3， 所以解得 所以，f(x)＝－x2＋x－3. 函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．　　 (4)解方程法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 即时练2.(2021·安徽省蚌埠市单元测试)根据下列条件，求函数f(x)的解析式： (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17； (2)已知函数f(x)满足条件2f(x)＋f()＝3x对任意不为零的实数x恒成立． 解析：　(1)设一次函数为f(x)＝kx＋b(k≠0)， 因为3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17， 所以3f(x＋1)－2f(x－1)＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝kx＋b＋5k＝2x＋17， 所以解得： 所以f(x)＝2x＋7； (2)将x＝代入等式2f(x)＋f()＝3x，得2f()＋f(x)＝， 联立 即 解得f(x)＝2x－(x≠0). 题型三　求分段函数的函数值 (1)设f(x)＝则f＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．－ D． (2)已知f(n)＝则f(8)＝________． 点拨：　判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． 解析：　(1)∵f＝－2＝－， ∴f＝f＝＝，故选B. (2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中， 即f(8)＝f(f(13)). 因为13>10，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10， 故f(8)＝f(10)＝10－3＝7. 答案：　(1)B　(2)7 (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．　　 即时练3.已知f(x)＝ (1)若f(a)＝4，且a>0，求实数a的值； (2)求f的值． 解析：　(1)当0<a<2时，由f(a)＝2a＋1＝4，得a＝， 当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4得a＝或－(舍去)， 故a＝或a＝； (2)由题意f(x)＝ 得f(－)＝f(－＋1)＝f(－)＝f(－＋1)＝f()＝2×＋1＝2. 题型四　函数图像 函数y＝＋x的大致图像是(　　) 点拨：　思路一　→ 思路二　→ → C　[方法一　易得函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，排除A，B；当x＝－1时，y＝－2，选项D中的图像不符合，排除D.选C. 方法二　函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，依据绝对值的定义可得y＝，易知选项C对应的图像正确．] 解决函数图像识别问题的方法 解决函数图像识别问题的基本方法是排除法，即根据函数的定义域确定图像所在的范围；根据特殊点确定图像的位置，特殊点一般为图像与坐标轴的交点、图像的最高(低)点等．　　 即时练4.画出下列函数的图像： (1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)； (2)f(x)＝|x＋2|. 解析：　(1)f(x)＝[x]＝函数图像如图1所示． 图1 　　　 图2 (2)f(x)＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图像，取[－2，＋∞)上的一段；画出y＝－x－2的图像，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示． 学科网（北京）股份有限公司 $$