3.1.2 第2课时 函数最值及平均变化率-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

第2课时　函数最值及平均变化率 题型一　图象法求函数的最值 例1　如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 点拨：观察函数图象，最高点坐标(3，3)，最低点(－1.5，－2)． 解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3， 当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2. 函数的单调递增区间为[－1.5，3)，[5，6)， 单调递减区间为[－4，－1.5)，[3，5)，[6，7]． 学生用书↓第80页 图象法求最值的一般步骤 对点练1.已知函数f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，并根据图象求函数f(x)在区间[－2，2]上的值域． 解：作出函数f(x)的图象： 因为f(0)＝4，f(2)＝8，f(－2)＝6， 所以由图象知函数f(x)的值域为[4，8]． 题型二　利用单调性求函数的最大(小)值 例2　函数y＝2x＋的最小值为________． 点拨：判断这个函数的单调性，会发现函数在定义域上单调递增，由此可求最小值；也可用换元法求解． 答案：2 解析：方法一(单调性法)　显然函数y＝2x＋的定义域为[1，＋∞)．因为函数y＝2x与y＝在[1，＋∞)上都单调递增，故y＝2x＋在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，ymin＝2＋＝2，即函数的最小值为2. 方法二(换元法)　令＝t，则t≥0，x＝t2＋1， 所以y＝2t2＋t＋2＝2＋， 且y在[0，＋∞)上是增函数，故当t＝0时，ymin＝2，即函数的最小值为2. 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 第一步：判断函数的单调性； 第二步：利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的那一个． 对点练2.已知函数f(x)＝. 求f(x)的定义域、值域和单调区间． 解：定义域为{x|x≠1}， f(x)＝＝＝2＋， 故f(x)≠2，即值域为{y|y≠2}， f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)，无单调递增区间． 题型三　函数的平均变化率 例3　判断函数f(x)＝在(1，＋∞)上的单调性． 点拨：与0比较大小即可判断． 解：设x1，x2∈(1，＋∞)且x1≠x2， 则＝＝. 易知x2－1＞0，x1－1＞0， 所以＜0， 所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减． 利用函数的平均变化率判断或证明单调性的步骤 第一步(取值)：任取x1，x2∈D，且x1≠x2； 第二步(计算)：求f(x2)－f(x1)，； 第三步(判符号)：根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性； 第四步(下结论)：若>0，则f(x)在I 上是增函数；若<0，则f(x)在I上是减函数． 对点练3.已知函数y＝(x∈[2，6])．判断并证明f(x)的单调性． 解：函数y＝在[2，6]上单调递减， 证明如下： 设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1≠x2， 则＝－， 因为x1－1>0，x2－1>0， 则＝－<0 , 所以，函数y＝在上单调递减． 学生用书↓第81页 1.函数f(x)在区间[－2，－1]上满足＞0，且图象关于y轴对称，则函数f(x)在区间[1，2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 答案：C 解析：因为函数f(x)在区间[－2，－1]上满足＞0，所以函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数．因为其图象关于y轴对称，所以函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)min＝f(2)，f(x)max＝f(1)．故选C. 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A．4 B．4Δx C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 答案：C 解析：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2－4)＝2(Δx)2＋4Δx，所以＝2Δx＋4.故选C. 3．若函数f(x)＝x2－x＋的定义域和值域都是[1，b]，则b＝(　　) A．1 B．3 C．2 D．1或3 答案：B 解析：因为函数f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的定义域和值域都是[1，b]，且函数f(x)在[1，b]上为增函数，所以f(b)＝(b－1)2＋1＝b，即(b－1)2＝b－1.又因为b＞1，所以(b－1)＝1，解得b＝3.故选B. 4．汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是v (_)1，v (_)2，v (_)3，则三者的大小关系为________． 答案：v (_)1<v (_)2<v (_)3 解析：因为v (_)1＝＝kOA，v (_)2＝＝kAB，v (_)3＝＝kBC，由题图得kOA<kAB<kBC，所以v (_)1<v (_)2<v (_)3. 微专题(三)　解题思想方法 利用函数最值或分离参数求解恒成立问题 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2. 设1≤x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1). 因为1≤x1<x2，所以x2－x1>0，2x1x2>2， 所以0<<，1－>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， 所以f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝. (2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立 ⇔x2＋2x＋a>0恒成立． 设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数． 所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a. 于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立， 故实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 名师点评：　在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论： a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max； a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min. 课时测评19　函数最值及平均变化率 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知函数f(x)＝，若2≤x≤6，则函数f(x)的(　　) A．最大值是2，最小值是0.4 B．最大值是6，最小值是2 C．最大值是2，最小值是0.2 D．最大值是3，最小值是0.6 答案：A 解析：函数f(x)＝在[2，6]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝，所以函数f(x)的最大值是2，最小值是0.4.故选A. 2．函数f(x)＝的最大值为(　　) A．1 B．2 C． D． 答案：B 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2.故选B. 3．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，3 B．0，2 C．－1，2 D．3，2 答案：C 解析：当x∈[－2，2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C. 4．函数f(x)＝在区间[－5，－3]上的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 答案：C 解析：函数f(x)＝＝＝1－，由y＝1－在x∈[－5，－3]内是单调递增函数，所以当x＝－5时，取得最小值为，即f(x)min＝.故选C. 5．函数y＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：设y＝f(x)＝x2，所以f(1)＝1，f(2)＝4，所以该函数在区间[1，2]上的平均变化率为＝3.故选B. 6．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是__________． 答案：2－3 解析：当x≤1时，f(x)＝x2，所以，当x＝0时，f(x)最小值为0；当x>1时，f(x)＝x＋－3，由基本不等式得f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝，即x＝时，取等号，所以，当x>1时，f(x)最小值为2－3.因为2－3<0，所以，f(x)最小值为2－3. 7．函数y＝的最小值是__________． 答案： 解析：函数y＝＝＝＋，令t＝，t≥，函数为f(t)＝t＋，易知在[，＋∞)上函数单调递增，当t＝即x＝0时，函数取得最小值，最小值为. 8．一质点的运动方程为s＝－8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)，求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度________(m/s)． 答案：－6－3Δt 解析：质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝＝(－6－3Δt)(m/s)． 9．(10分)已知函数f(x)＝ (1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；(直接画图，不需列表)(4分) (2)写出f(x)的单调递增区间及值域．(6分) 解：(1)图象如下图所示： (2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，值域为[－1，3]． 10．(10分)已知f(x)＝. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数；(4分) (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．(6分) 解：(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为1≤x1<x2， 所以x1－x2<0，，(x1＋1)(x2＋1)>0， 因为f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数． (2)由(1)知函数f(x)在区间[2，4]上是增函数， 所以f(x)max＝f(4)＝＝. 11．(5分)若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 答案：C 解析：①当a＝0时，y＝ax＋1＝1，不符合题意；②当a>0时，y＝ax＋1在[1，2]上递增，因为函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值之差为2，所以(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；③当a<0时，y＝ax＋1在[1，2]上递减，因为函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值之差为2，所以(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上，得a＝±2.故选C. 12．(5分)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值是5，最小值是1，则实数m的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2，4] C．(－∞，2] D．[0，2] 答案：B 解析：因为函数f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5.且f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，所以实数m的取值范围是[2，4]．故选B.13.(5分)已知函数f(x)＝x2－2mx(m>0)满足：①∀x∈[0，2]，f(x)≥－8；②∃x0∈[0，2]，f(x)＝－8，则m的值为__________． 答案：3 解析：因为函数f(x)＝x2－2mx(m>0)满足：①∀x∈[0，2]，f(x)≥－8；②∃x0∈[0，2]，f(x)＝－8，即函数f(x)＝x2－2mx(m>0)在[0，2]上的最小值为－8，因为f(x)＝(x－m)2－m2，对称轴是x＝m，开口向上，当0<m<2时，f(x)在[0，m]单调递减，在[m，2]单调递增，故f(x)的最小值为－m2＝－8，解得m＝±2，不符合题意，当m≥2时，f(x)在[0，2]单调递减，f(x)min＝f(2)＝4－4m＝－8，解得m＝3，符合题意．综上所述，m＝3. 14．(5分)已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋5，若对任意的x1，x2∈(4，＋∞)，当x1＞x2时，总有f(x1)－f(x2)＞x2－x1，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，4] 解析：由x1＞x2时，总有f(x1)－f(x2)＞x2－x1，可知f(x1)＋x1＞f(x2)＋x2，因此函数h(x)＝f(x)＋x在区间(4，＋∞)上是增函数．因为h(x)＝f(x)＋x＝x2－2ax＋5的单调递增区间是(a，＋∞)，因此a≤4. 15．(20分)已知二次函数y＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]． (1)若a＝－2，写出函数的单调递增区间和单调递减区间，并求出函数的最值；(8分) (2)若函数在[－4，6]上具有单调性，求实数a的取值范围．(12分) 解：(1)当a＝－2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，因为x∈[－4，6]，所以函数的单调递增区间为[2，6]，单调递减区间为[－4，2]， 所以函数的最大值为f(－4)＝35，最小值为f(2)＝－1. (2)由y＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2可得，函数的对称轴为x＝－a， 因为函数在[－4，6]上具有单调性， 所以－a≥6，或－a≤－4， 故a≤－6，或a≥4，即实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)． 学生用书↓第82页 学科网（北京）股份有限公司 $$