3.1.1 第1课时 函数的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

3．1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法 第1课时　函数的概念 [课标解读]1.函数的概念.2.函数的三要素.3.求简单函数的定义域.4.求函数的值． 知识点一　函数的概念 1．变量观点的定义 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数． 2．集合观点的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A， 其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合 {y∈B|y＝f(x)，x∈A} 称为函数的值域． 对函数概念的几点说明 (1)y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等). (2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示． 知识点二　函数的三要素 1．定义域 函数的定义域是函数y＝f(x)的自变量x的取值范围．在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合．在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约． (1)求函数的定义域时，常将其转化为解不等式或不等式组的问题． (2)定义域是一个集合，必须用集合的形式来表示． 2．对应关系 对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量． 3．值域 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了． 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验： (1)定义域和对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y与之对应． 知识点三　同一个函数 一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数． 1．(2021·全国期中考试)下列图像不可能成为函数y＝f(x)图像的是(　　) A　[B、C、D都满足函数的定义，在A中，存在一个x有两个y对应，不满足函数值的唯一性．故选A.] 2．函数y＝＋的定义域为(　　) A． B． C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)∪ D　[由题意可得 解得x≤且x≠－1， 故函数的定义域为(－∞，－1)∪.故选D.] 3．(多选)(2021·甘肃省金昌市期中考试)下列函数中，定义域和值域相同的函数有(　　) A．f(x)＝5x＋1 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ ACD　[A选项：y＝5x＋1的定义域、值域都为R；B选项：y＝x2＋1的定义域为R，值域为[1，＋∞)；C选项：y＝的定义域、值域都为{x|x≠0}；D选项：y＝的定义域、值域都为[0，＋∞).故选ACD.] 4．(多选)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有(　　) A．f(x)＝x与g(x)＝ B．f(t)＝|t－1|与g(x)＝|x－1| C．f(x)＝x与g(x)＝ D．f(x)＝与g(x)＝x－1 BC　[对于A，函数f(x)＝x与g(x)＝＝|x|的解析式不同，不表示相同函数；对于B，函数f(t)＝|t－1|的定义域为R，g(x)＝|x－1|的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝x的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，g(x)＝x－1的定义域为R，定义域不同，不是相同函数．故选BC.] 5．函数f(x)＝x2＋1，x∈{－1，0，1，2}的值域为__________． 解析：　因为函数f(x)＝x2＋1，x∈{－1，0，1，2}，所以函数的值域为{1，2，5}． 故答案为{1，2，5}． 答案：　{1，2，5} 题型一　函数的概念 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数． (1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； (2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示； (3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； (4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1. 点拨：　(1)从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A.但值域不一定是非空数集B.也可以是集合B的子集． (2)判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析． 解析：　对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数． (2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数． (3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数． (1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应． 注意　A中元素无剩余，B中元素允许有剩余． (2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．　　 即时练1.(1)集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是(　　) (2)下列对应是否是函数？ ①x→，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R. 解析：　(1)由题意可知：M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，对A选项，函数定义域为[－2，0]，与题意不符，所以不对；对B选项，符合函数的定义，且定义域、值域分别是M，N，符合题意．对C选项，不符合函数值的唯一性要求，不是函数的关系，故不对；对D选项，值域不是[0，2]，不符合题意；故选B. (2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数定义． ②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念． 答案：　(1)B 题型二　求函数的定义域 考点1　已知函数的解析式求定义域 (1)函数f(x)＝的定义域是(　　) A．[－1，1) B．[－1，1)∪(1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(1，＋∞) (2)求下列函数的定义域． ①y＝＋；②y＝. 点拨：　(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域． (2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域． 解析：　(1)由解得x≥－1，且x≠1. (2)①要使函数有意义，需满足 即 得x>－2且x≠3. 所以所求函数的定义域为(－2，3)∪(3，＋∞). ②要使函数有意义，需满足 即 所以x>0且x≠1. 所以所求函数的定义域为(0，1)∪(1，＋∞). 答案：　(1)B　(2)见解析 考点2　抽象函数的定义域 已知函数f(x2－2)的定义域为[－1，3]，则函数f(x)的定义域为(　　) A．[0，1] B． C．[－2，7] D．(－∞，3) 点拨：　定义域是指自变量的取值范围，则f(x2－2)中x∈[－1，3]，求出x2－2的范围即f(x)的定义域． C　[由函数f(x2－2)的定义域为[－1，3]，得x∈[－1，3]，∴x2∈[0，9]，∴x2－2∈[－2，7]. ∴f(x)的定义域为[－2，7].] 求函数定义域的一般原则 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合． (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集． (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合． (6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的． 注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接．　　 即时练2.(1)(2021·全国月考试卷)已知函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域为(　　) A．(－∞，) B．(，1) C．(－，) D．(－∞，)∪(，1) (2)已知函数f(x)的定义域是[－1，3]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[－3，1) B．(0，1) C．[0，1) D．[－3，1] 解析：　(1)由⇒x<1且x≠，所以定义域为∪.故选D. (2)由函数f(x)的定义域是[－1，3]，结合函数g(x)＝的特征可知， 解得0≤x<1，故函数g(x)＝的定义域为[0，1).故选C. 答案：　(1)D　(2)C 题型三　同一函数 下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？ (1)y＝()2； (2)u＝； (3)y＝； (4)m＝. 点拨：　依据同一函数的定义来判断，先看函数定义域，再看对应关系． 解析：　(1)y＝()2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数． (2)u＝＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数． (3)y＝＝|x|＝它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数． (4)m＝＝n(n∈R，且n≠0}，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数． 判断同一函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断同一函数的三个步骤 (2)两个注意点： ①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．　　 即时练3.试判断下列函数是否为同一函数． (1)f(x)＝，g(x)＝x－1； (2)f(x)＝，g(x)＝； (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2； (4)f(x)＝|x|，g(x)＝. 解析：　 序号 是否相同 原因 (1) 不同 定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R (2) 不同 对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝ (3) 不同 定义域相同，对应关系不同 (4) 相同 定义域和对应关系相同 题型四　求函数的值域 求下列函数的值域． (1)y＝3－4x，x∈(－1，3]； (2)y＝； (3)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}； (4)y＝x2－4x＋5. 点拨：　(1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求． (2)先分离常数将函数解析式变形、再求值域． (3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域． (4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域． 解析：　(1)因为－1<x≤3， 所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7， 所以函数y＝3－4x，x∈(－1，3]的值域是[－9，7). (2)因为y＝＝＝2－≠2， 所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠2}． (3)函数的定义域为{1，2，3}． 当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2. 当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1. 当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2. 所以，这个函数的值域为{1，2}． (4)因为函数的定义域为R，所以y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1≥1， 所以这个函数的值域为[1，＋∞). 求函数值域的常用方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． (2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．　　 (3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. 即时练4.试求下列函数的定义域与值域： (1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}； (2)f(x)＝(x－1)2＋1； (3)f(x)＝. 解析：　(1)函数的定义域为：{－1，0，1，2，3}， 则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5， 同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， 所以函数的值域为：{1，2，5}． (2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为：{y|y≥1}． (3)要使函数式有意义，则x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域是：{x|x≠1}， 因为y＝＝5＋，所以函数的值域为：{y|y≠5}． 微专题(二)　创新探究 1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－3，值域为{－1，5}的“孪生函数”共有(　　) A．7个　　　　　　　　 B．8个 C．9个 D．10个 C　[由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝2x2－3，值域为{－1，5}．由2x2－3＝－1得，x＝±1；由2x2－3＝5得，x＝±2.则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“孪生函数”共有9个．] 名师点评：　本题使我们清楚地认识到对应关系和值域不能决定定义域，当两函数的对应关系和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数． 2．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}． (1)求证A⊆B； (2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1，3}，求集合B. 解析：　(1)证明：若A＝∅，则A⊆B显然成立． 若A≠∅，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t， 故t∈B， 从而A⊆B，故A⊆B成立． (2)∵A＝{－1，3}，∴f(－1)＝－1，且f(3)＝3， 即 ∴∴ ∴f(x)＝x2－x－3. ∵B＝{x|f(f(x))＝x}， ∴(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x， ∴(x2－x－3)2－x2＝0， 即(x2－3)(x2－2x－3)＝0， ∴(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0， ∴x＝±或x＝－1或x＝3. ∴B＝{－，－1，，3}． 名师点评：　不动点理论是现代数学中有趣的概念，主要涉及两方面的问题，即“不动点”的存在问题和“不动点”的个数问题．本题以“不动点”和“稳定点”的定义为背景，考查与二次函数、二次方程有关的知识，对于这类新定义的概念题，要先读懂并理解新概念，获取有用的信息，并综合应用已有的知识来解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$