2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　均值不等式的应用 题型一　利用均值不等式证明不等式 已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 点拨：　判断a，b，c，，，均大于0→→→→ 证明：　∵a，b，c，，，均大于0， ∴＋b≥2＝2a，当且仅当＝b时等号成立． ＋c≥2＝2b，当且仅当＝c时等号成立． ＋a≥2＝2c，当且仅当＝a时等号成立． 相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， ∴＋＋≥a＋b＋c. (1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0. (2)在利用基本不等式a＋b≥2或≥(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式． (3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．　　 即时练1.设a>0，b>0，a＋b＝2.证明：≥4. 证明：　因为a>0，b>0，a＋b＝2. 所以＝＝1＋ 且ab≤＝1(当且仅当a＝b时取等号)， 故1＋≥1＋＝4.所以≥4. 题型二　利用基本不等式解决实际问题 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少？ 点拨：　由题意设变量，列出函数关系中利用均值不等式求最值． 解析：　设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有 z＝150×＋120(2×3x＋2×3y) ＝240 000＋720(x＋y). 由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800. 因此xy＝1 600. 所以z≥240 000＋720×2， 当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297 600. 所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时，一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．　　 即时练2.为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40 000 m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3 m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小． 解析：　设矩形鱼塘长为a m，宽为b m，面积ab＝40 000 m2， 由所选农田的长为(a＋6)m，宽为(b＋6)m， 农田面积为(a＋6)·(b＋6)＝40 036＋6(a＋b)(m2)， 由不等式得a＋b≥2＝400，当且仅当a＝b时，a＋b最小，即农田面积最小， ∵ab＝40 000，所以a＝b＝200 m， 所以农田的长为206 m，宽为206 m时，才能使占有农田的面积最小． 学科网（北京）股份有限公司 $$