2.2.4 第1课时 均值不等式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2.2.4　均值不等式及其应用 [课标解读]1.数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.2.均值不等式.3.均值不等式的应用． 知识点一　均值不等式 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值． 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义，例如a，b，c的算术平均值为，几何平均值为. 2．均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． (1)“当且仅当”的含义：当a＝b且仅当a＝b时，不等式≥能取到等号，即＝. (2)均值不等式可变形为a＋b≥2，ab≤. 知识点二　均值不等式与最大(小)值 已知x，y都是正数． (1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 可以表述为： 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 可简记为“两正数积定和最小，和定积最大”． 利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”．具体理解如下： (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案． (2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值． (3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值． 1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．1个　　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 C　[当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．] 2．已知函数y＝x＋，函数y的最小值等于(　　) A． B．4＋1 C．5 D．9 C　[∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5， 仅当x－1＝，即x＝3时取等号， ∴y＝x＋(x>1)的最小值为5. 故选C.] 3．已知t>0，则y＝的最小值为(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．－5 B　[依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.] 4．已知x，y都是正数． (1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________； (2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________． 解析：　(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值． (2)xy≤＝＝， 即xy的最大值是. 当且仅当x＝y＝时，xy取最大值． 答案：　(1)2　(2) 5．(2021·辽宁省其他类型)若a>0，b>0，3a＋2b＝1，则ab的最大值是__________． 解析：　a>0，b>0，3a＋2b＝1， 所以1＝3a＋2b≥2，当且仅当a＝，b＝时，取等号， 所以ab≤， 所以ab的最大值是， 故答案为：. 答案：　 第1课时　均值不等式 题型一　对均值不等式的理解 (1)下列不等式中，不正确的是(　　) A．a2＋b2≥2|a||b| B．≥2a－b(b≠0) C．≥－1(b≠0) D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2 (2)给出下列命题： ①若x∈R，则x＋≥2； ②若a<0，b<0，则ab＋≥2； ③不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________． 点拨：　(1)举反例、基本不等式⇒逐个判断． (2)明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断． 解析：　(1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确． B中，由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.当b<0时，≤2a－b，所以B不正确． C中，b≠0，则≥－1，所以C正确． D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确． (2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2 ＝2，故①错误； 当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得 ab＋≥2 ＝2，故②正确； 由基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2 ＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误． 答案：　(1)B　(2)② 均值不等式的两个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数． (2)二相等：即“＝”成立的条件．　　 即时练1.(2021·陕西省西安市月考试卷)若0<a<b，则下列不等式成立的是(　　) A．<<a<b B．a<<<b C．<a<<b D．a<<<b B　[因为b>a>0， 所以b>，>a， 又因为>， 所以b>>>a， 即a<<<b. 故选B.] 题型二　利用均值不等式求最值 解答下列问题： (1)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值； (2)求函数y＝(x>1)的最小值； (3)已知x>0，函数y＝，求y的取值范围． 点拨：　常用构造定值条件的技巧：(1)添项变换；(2)拆项变换；(3)统一变换；(4)平方后利用均值不等式． 解析：　(1)∵0<x<，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． 故当x＝时，y取得最大值. (2)y＝＝＝x－1＋＋2， ∵x>1，∴x－1>0， ∴y≥2＋2＝2×3＋2＝8， 当且仅当x－1＝，即x＝4时取等号． 故当x＝4时，ymin＝8. (3)当x>0时，y＝＝. ∵x＋≥4，∴0<≤，∴0<y≤， 当且仅当x＝(x>0)，即x＝2时，等号成立． ∴y的取值范围为{y|0<y≤}． (1)利用基本不等式求最值的策略 　　 (2)拼凑法求解最值，就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用均值不等式求解最值． (3)通过消元法利用基本不等式求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． 注意：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件． 即时练2.(1)(2021·全国月考试卷)已知正数x，y满足(x－1)(y－1)＝4，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 (2)(多选)(2021·江苏省期末考试)设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝3，那么(　　) A．a＋b有最小值6 B．a＋b有最大值6 C．ab有最小值9 D．ab有最大值9 解析：　(1)由题意可知y≠1， 因为(x－1)(y－1)＝4，所以x＝＋1， 因为x>0，y>0，所以y－1>0， 所以x＝＋1>1，即x－1>0， 因为(x－1)＋(y－1)≥2＝4，所以x＋y≥6， 当且仅当x－1＝y－1＝2，即x＝y＝3时，等号成立， 故x＋y的最小值为6. 故选B. (2)ab＝3＋a＋b≤， (a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，a＋b>2， ∴a＋b≥6, a＋b有最小值6，当且仅当a＝b＝3时等号成立，故A正确； ab－3＝a＋b≥2，∴ab≥9，则ab有最小值9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，故C正确． 答案：　(1)B　(2)AC 易错一　忽略“正”的条件致误 1．求函数y＝1－2x－(x<0)的最值． 正解：　∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时，等号成立，故y有最小值1＋2，无最大值． [易错探因]　解本题时易忽略x<0，而直接由y＝1－2x－＝1－，并根据均值不等式，得2x＋≥2＝2，即y≤1－2，得到y有最大值1－2. [误区警示]　均值不等式≥使用的前提是a，b都是正数．在解题时如果a，b为负数，可提取负号，使之满足使用均值不等式的条件，再利用均值不等式解题． 易错二　忽略“定”的条件致误 2．求函数y＝2x(5－3x)，x∈的最大值． 正解：　∵x∈，∴2x>0，5－3x>0， y＝2x(5－3x)＝·3x·(5－3x)≤＝，当且仅当3x＝5－3x，即x＝∈时，等号成立，故函数y的最大值为. (本题也可利用配方法求最大值． y＝2x(5－3x)＝－6x2＋10x＝－6＋，当x＝时，ymax＝.) [易错探因]　一些同学看到要求y＝2x(5－3x)的最大值，就会直接使用均值不等式，如y＝2x(5－3x)≤2＝，当且仅当x＝5－3x，即x＝∈时，等号成立．忽略了x＋5－3x＝5－2x不是定值，这样虽求得的x∈，但＝却不是y的最大值． [误区警示]　利用均值不等式求最值时，取定值是前提(和定积最大，积定和最小)，求出的最值应该是一个常数，而不应该是一个变量． 易错三　忽略等号成立的条件致误 3．求函数y＝的最小值． 正解：　y＝＝＝＋＝＋－≥4－(当且仅当x＝0时等号成立). 又≥2(当x＝0时等号成立)，所以－≥－，所以所求最小值为4－＝. [易错探因]　求解本题时易得到如下错解： 因为y＝＋≥2，所以函数的最小值为2. 事实上，使用均值不等式时，等号成立的条件为＝，即x2＋4＝1，显然x2≠－3，即等号无法取到，最小值为2不正确． [误区警示]　利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若由于题设的限制使等号不能取到，则要换另一种方法解答，除本题介绍的方法外，还可用下章学习的函数单调性求解． 易错四　忽略等号成立的一致性致误 4．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的最小值． 正解：　∵x＋2y＝1，x>0，y>0， ∴＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝y时，等号成立． ∵x＋2y＝1，∴ ∴当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，最小值为3＋2. [易错探因]　本题易出现的一种错误解法为：∵x>0，y>0， ∴1＝x＋2y≥2，∴8xy≤1，∴xy≤，∴≥8. ∵＋≥2，∴＋≥2＝4， ∴＋的最小值为4. 事实上，错解在求解过程中使用了两次均值不等式：x＋2y≥2，＋≥2.但这两次取等号需满足x＝2y与x＝y，结合题意可知这两个条件相矛 盾，所以等号取不到，故＋的最小值不是4. [误区警示]　多次应用均值不等式求最值时，要注意各次取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件一致，方可求其最值．也可以利用条件将所求式变形成只利用一次均值不等式即可求最值的形式，如本题正解所示． 学科网（北京）股份有限公司 $$