2.1.3 方程组的解集-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2.1.3　方程组的解集 [课标解读]1.二元一次方程的概念.2.二元一次方程组的解法.3.三元一次方程组的解法.4.二元二次方程组的解法． 知识点一　方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：解方程组常用的方法：消元法． 知识点二　二元一次方程组 方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．例如， 都是二元一次方程组． 知识点三　三元一次方程组 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．例如，都是三元一次方程组． 解三元一次方程组的基本思路 知识点四　二元二次方程组 二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程． 二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组． (1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型． (2)解二元二次方程组的思路是消元和降次． 1．方程组的解集是(　　) A．{x＝3，y＝0} B．{3} C．{(3，0)} D．{(x，y)|(0，3)} C　[由解得： 故方程组的解集为：{(3，0)}．故选C.] 2．(2021·全国同步练习)三元一次方程组的解集是(　　) A．{(1，0，4)} B．{(1，2，4)} C．{(1，0，5)} D．{(4，1，0)} C　[∵∴①＋②＋③得：2x＋2y＋2z＝12，即x＋y＋z＝6　④， ④－①得：z＝5；④－②得：x＝1；④－③得：y＝0， ∴方程组的解集为{(1，0，5)}．故选C.] 3．由方程组消去y后得到的方程是(　　) A．2x2－2x－3＝0　　　　　 B．2x2－2x＋5＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x＋9＝0 B　[由①，得y＝x－1　③.把③代入②，得(x－1)2＋x2＋4＝0.整理，得2x2－2x＋5＝0.故选B.] 4．若方程组的解x和y的绝对值相等，则实数k的值等于(　　) A．0　　 　　 B．1 C．2　　　 　 D． C　[由题意，可知y＝－x，代入4x＋3y＝1，得x＝1，所以y＝－1.将x＝1，y＝－1代入2kx＋(k－1)y＝3，得k＋1＝3，所以k＝2.] 5．(2021·全国同步练习)已知方程组则代数式x－y－5z＝__________． 解析：　对于方程组 则下式－上式得：x－y－5z＝9－6＝3.故答案为：3. 答案：　3 题型一　求二元一次方程组的解集 考点1　用代入消元法求二元一次方程组的解集 求方程组的解集． 点拨：　→→→→ 解析：　方法一　由②，得y＝4x－5　③. 把③代入①，得2x＋3(4x－5)＝－1. 解这个一元一次方程，得x＝1. 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}． 方法二　由①，得3y＝－2x－1，即y＝　③， 把③代入②，得4x－＝5， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}． 用代入消元法解二元一次方程组的步骤 (1)变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b是常数，a≠0)的形式． (2)代入 把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． (3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值． (4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个未知数． (5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式． 考点2　用加减消元法求二元一次方程组的解集 求下列方程组的解集： (1) (2) 点拨：　(1)当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单． (2)当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元法． 解析：　(1)方法一(加法消元)　①＋②，得6x＝12，解得x＝2.把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1. 所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}． 方法二(减法消元)　①－②，得－14y＝－14，解得y＝1. 把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2. 所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}． 方法三(加减法消元)　①＋②，得6x＝12，解得x＝2. ①－②，得－14y＝－14，解得y＝1. 所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}． (2)①×5－②×2，得7y＝21，解得y＝3， 把y＝3代入①，整理得2x＝4，解得x＝2. 所以方程组的解集为{(x，y)|(2，3)}． 用加减消元法解二元一次方程组的步骤 (1)变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数． (2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减． (3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值． (4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值． (5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式． 注意：(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数． (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．　　 即时练1.(2021·全国单元测试)求下列方程组的解集： (1)(2) 解析：　(1)由①得y＝－2x，③， 把③代入②得3x－2(－2x)＝14，解得x＝2， 把x＝2代入③得，y＝－2×2＝－4. 所以，方程组的解集是； (2)原方程组化为 ①×3－②×2，整理得2y＝－17，解得y＝－， 把y＝－代入①并整理，得x＝－26. 所以，方程组的解集为. 题型二　求三元一次方程组的解集 求下列方程组的解集： (1) (2) 点拨：　(1)方程2x－y＝7是二元一次方程，可以将另外两个方程结合起来消去z，再和2x－y＝7联立求解即可；或将y用含x的代数式表示出来，再分别代入前两个方程，消去y，解方程组，进而得到原方程组的解集． (2)三个方程中，z的系数的绝对值的最小公倍数是2，y的系数的绝对值的最小公倍数是6，可以消去z，再联立方程求解． 解析：　(1)方法一　①×2＋②，得5x＋8y＝7　④. ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2， 所以z＝1. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}． 方法二　由③，得y＝2x－7　④. 把④代入①，整理得7x＋2z＝23　⑤. 把④代入②，整理得7x－4z＝17　⑥. ⑤与⑥组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3代入④，得y＝－1. 所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}． (2)①＋③，得3x＋5y＝11　④. ③×2＋②，得3x＋3y＝9，即x＋y＝3　⑤. ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝2，y＝1代入③，得2＋2－z＝5，所以z＝－1. 所以方程组的解集为{(x，y，z)|(2，1，－1)}． 解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的．　　 即时练2.(2021·全国单元测试)求方程组的解集． 解析：　方法一　(代入消元法)由②得x＝y＋1，④， 将④代入①③得 解这个方程组得 将y＝9代入④得x＝10. 所以原方程组的解集为{(10，9，7)}； 方法二　(加减消元法)③－①，得x－2y＝－8，⑤， 由②⑤组成方程组，得 解这个方程组，得 将其代入①得z＝7. 所以原方程组的解集为{(10，9，7)}． 题型三　求二元二次方程组的解集 求方程组的解集． 点拨：　由于方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，所以可以通过代入法达到消元的目的，由②得y＝2x－1，再将y＝2x－1代入①可以求出x的值，再求出y的值，从而得到方程组的解集． 解析：　由②，得y＝2x－1.　③ 把③代入①，得x2－4(2x－1)2＋x－3(2x－1)－1＝0. 整理得15x2－11x＋2＝0. 解这个方程，得x＝或x＝. 把x＝代入③，得y＝－. 把x＝代入③，得y＝－. 所以原方程组的解集为 . 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： 　　 即时练3.(2021·全国单元测试)求下列方程组的解集： (1) (2) (3) 解析：　(1) 由①得y＝2x　③， 把③代入②得x2－(2x)2＋3＝0，解得x＝1或x＝－1. 把x＝1代入③得y＝2， 把x＝－1代入③得y＝－2， 因此，原方程组的解集是{(1，2)，(－1，－2)}； (2) 由①得y＝7－x　③， 把③代入②，整理得x2－7x＋12＝0，即(x－3)(x－4)＝0，解得x＝3或x＝4. 把x＝3代入③得y＝4， 把x＝4代入③得y＝3， 所以原方程组的解集为{(3，4)，(4，3)}； (3) 由①得y＝x＋1　③， 把③代入②，整理得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，解得x＝1. 把x＝1代入③得y＝2， 所以原方程组的解集为{(1，2)}． 学科网（北京）股份有限公司 $$