1.2.3 充分条件、必要条件-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.2.3　充分条件、必要条件 [课标解读]1.充分条件的意义，判定定理与充分条件的关系.2.必要条件的意义，性质定理与必要条件的关系.3.充要条件的意义，数学定义与充要条件的关系.4.运用集合的包含关系解释充分条件、必要条件、充要条件.5.充分条件与必要条件的判断与探求． 知识点一　充分条件、必要条件 当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当p q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释： (1)“若p，则q”形式的命题为真命题； (2)由条件p可以得到结论q； (3)p是q的充分条件或q的充分条件是p； (4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的； (5)q是p的必要条件或p的必要条件是q； (6)一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的． 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已． 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 显然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等． 1．(2021·辽宁省沈阳市联考题)已知a∈R，则“a>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由a>1可得<1成立；当<1，即－1＝<0，解得a<0或a>1，推不出a>1一定成立．所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件．] 2．(2021·山东省期末考试)设集合A、B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩(∁UB)＝∅”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[如下图所示， A⊆B⇒A∩(∁UB)＝∅，同时A∩(∁UB)＝∅⇒A⊆B，故选C.] 3．(2021·山东省聊城市月考试卷)唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年．今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，由此推断，后一句中“是仙”是“到篷莱”的(　　) A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　[由已知：由“是仙”可以推出“到过蓬莱”，而“到过蓬莱”不一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条件，故选B.] 4．用符号“⇒”与“ ”填空： (1)x2>1________x>1； (2)a，b都是偶数________a＋b是偶数． 解析：　(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1 x>1. (2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数． 答案：　(1) 　(2)⇒ 5．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的________条件． 解析：　A∩{0，1}＝{0} A＝{0}；反之，A＝{0}⇒A∩{0，1}＝{0}，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件． 答案：　必要不充分 题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断 (1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④若x2＝1，则x＝1； ⑤若a＝b，则ac＝bc； ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数． (2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； ④若x＝1，则x2＝1； ⑤若ac＝bc，则a＝b； ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数． 点拨：　判断p是q的什么条件，关键先判断p⇒q，q⇒p，最后用定义下结论． 解析：　(1)①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ④由于(－1)2＝1，但－1≠1，p q，所以p不是q的充分条件． ⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件． ⑥为无理数，但×＝2为有理数，p q，所以p不是q的充分条件． (2)①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件． ②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件． ③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q，所以，q不是p的必要条件． ④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件． ⑤由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，p q，所以，q不是p的必要条件． ⑥由于1×＝为无理数，但1，不全是无理数，p q，所以，q不是p的必要条件． 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)定义法 ①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论． ②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． ③根据推式及条件得出结论．　　 (2)等价转化法 ①等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题． ②逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件； 若¬p⇒¬q，且¬q ¬p，则p是q的必要不充分条件； 若¬p⇔¬q，则p与q互为充要条件； 若¬p ¬q，且¬q ¬p，则p是q的既不充分也不必要条件． (3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断． (4)传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断． (5)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题． 即时练1.判断下列p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件，充分必要条件). (1)p：x是无理数；q：x2是有理数． (2)p：x－1>0；q：x2>1. (3)p：xy>0；q：点(x，y)在第一象限． (4)p：集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}有两个子集；q：a＝0或. 解析：　(1)当x＝1＋时，x为无理数，但x2＝3＋2为无理数，所以充分性不成立； 当x2＝4时，x＝±2，所以必要性也不成立． 所以p是q的既不充分也不必要条件． (2)当x－1>0，即x>1，有x2>1，所以充分性成立； 当x＝－2时，x2＝4>1，而x－1＝－2－1<0，所以必要性不成立． 所以p是q的充分不必要条件． (3)若xy>0，则点(x，y)在第一、三象限，所以充分性不成立； 若点(x，y)在第一象限，则xy>0，所以必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件． (4)因为集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}有两个子集， 所以集合A只有一个元素． 当a＝0时，x＋2＝0，解得x＝－2，即A＝{－2}， 当a≠0，Δ＝1－8a＝0时，解得a＝，所以A＝{－4}， 所以a＝0或时，集合A有两个子集， 所以p是q的充分必要条件． 题型二　求条件(充分条件、必要条件和充要条件) 一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是(　　) A．a<0　　　　　　　　　 B．a>0 C．a<－1 D．a>1 点拨：　依题意知本题是寻找一个“选项”，使得该“选项”⇒“题干”，但“题干” “选项”． C　[一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0) 有一个正根和一个负根，等价于 解得a<0. 结合题意及选项可知选C.] 本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根解得a<0，而误选A.因为(－∞，－1)(－∞，0)，所以选C.　　 即时练2.(多选)(2021·广东省云浮市月考试卷)命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≥5 C．a≥8 D．a≤4 BC　[因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题， 所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立， 所以a≥4， 故A，a≥4是它为真命题的充要条件， 故D，a≤4是它为真命题的既不充分也不必要条件， 所以命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5，a≥8， 故选BC.] 题型三　充分条件、必要条件、充要条件的应用 已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围． 点拨：　 ―→ 解析：　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝； N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}， 由已知p⇒q且qp，得MN. ∴或 解得≤a<2或<a≤2，即≤a≤2， 即所求a的取值范围是. 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　 即时练3.p：x＝2，q：x2－(a＋1)x＋a＝0，p是q的充分不必要条件，则a＝__________． 解析：　由x2－(a＋1)x＋a＝0得x＝1或x＝a， 因为p是q的充分不必要条件，所以a＝2. 故答案为：2. 答案：　2 微专题(三)　创新探究 在如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？ 点拨：　若p⇒q，则称p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．我们可以把“闭合开关A”当作条件p，把“灯泡B亮”当作结论q，结合简单的电学知识，就可以得出正确的答案． 解析：　如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮；反之，若要使灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件．如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，若要使灯泡B亮，则开关A必须闭合．因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件．如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮；反之，若要使灯泡B亮，开关A一定是闭合的．因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件．如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，若要使灯泡B亮，不一定非要闭合开关A，只要闭合开关C即可．因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件． 名师点评：　“充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”．用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受．反之，用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，则更加明白和透彻． 学科网（北京）股份有限公司 $$