1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 [课标解读]1.命题的否定.2.正确使用存在量词对全称量词进行否定.3.正确使用全称量词对存在量词进行否定.4.判断全称(存在)量词命题的否定的真假． 知识点一　命题的否定 1．命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”． 2．命题¬p的真假性 命题¬p的真假性可以用下表(真值表)表示： 命题p 命题p的否定(¬p) 真 假 假 真 显然，¬p与p不能同真或同假，其中一个为真，另一个必定为假，它们是互为否定的，从而有¬(¬p)＝p. 命题的否定与集合运算的关系 (1)已知全集为U，设命题p对应的集合为P，则命题的否定¬p对应的集合为∁UP＝{x|x∈U，且x∉P}，这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定． (2)已知全集为U，若“p是真命题”对应“a∈P”，则“p是假命题”对应“a∈∁UP”；若“¬p是真命题”对应“a∈∁UP”，则“¬p是假命题”对应“a∈P”． 知识点二　存在量词命题的否定 一般地，对于存在量词命题的否定，有下列结论： 存在量词命题p：∃x∈M，p(x). 它的否定¬p： (1)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立． (2)写存在量词命题的否定时，先否定量词，即把“∃”改为“∀”，再否定结论，所以存在量词命题的否定一定是全称量词命题． (3)存在量词命题p与它的否定¬p真假性相反，只需判断其中一个的真假，便知另一个的真假． 知识点三　全称量词命题的否定 一般地，对于全称量词命题的否定，有下列结论： 全称量词命题q：∀x∈M，q(x). 它的否定¬q： (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立． (2)写全称量词命题的否定时，先否定量词，即把“∀”改为“∃”，再否定结论，所以全称量词命题的否定一定是存在量词命题． (3)全称量词命题q与它的否定¬q真假性相反，只需判断其中一个的真假，便知另一个的真假． 1．若命题p：函数y＝1－x2的图像过点(－3，2)，则p与¬p的真假情况是(　　) A．都是真命题　　　　　　　 B．都是假命题 C．p真，¬p假 D．p假，¬p真 D　[∵p与¬p必一真一假，而本题中p显然是假命题，∴¬p必为真命题．] 2．(2021·黑龙江省模拟题)命题“∀x∈R，x2－x＋1＝0”的否定为(　　) A．∀x∈R，x2－x＋1≠0 B．∃x∈R，x2－x＋1＝0 C．∃x∈R，x2－x＋1≠0 D．∃x∉R，x2－x＋1≠0 C　[命题为全称量词命题，则命题的否定为：∃x∈R，x2－x＋1≠0，故选C.] 3．(2021·山西省朔州市期末考试)命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x<0，x3＋x<0 B．∀x<0，x3＋x≥0 C．∃x≥0，x3＋x<0 D．∃x≥0，x3＋x≥0 C　[全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是∃x≥0，x3＋x<0，故选C.] 4．(2021·陕西省宝鸡市期末考试)命题：“∃x0∈R，x－1>0”的否定为(　　) A．∃x∈R，x2－1≤0 B．∀x∈R，x2－1≤0 C．∃x∈R，x2－1<0 D．∀x∈R，x2－1<0 B　[命题：“∃x0∈R，x－1>0”的否定为“∀x∈R，x2－1≤0”，故选B.] 5．(2021·上海市市辖区期中考试)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是__________． 解析：　因为命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：“存在x0∈R，使得x<0”，故答案为存在x0∈R，使得x<0. 答案：　存在x0∈R，使得x<0 题型一　命题的否定 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)圆周率π是无理数； (2)空集∅是集合A的子集； (3)2是质数且是偶数； (4)6是2或3的倍数． 点拨：　在写一个命题的否定时，一是要注意否定词的对应，如“是”对应“不是”，“或”对应“且”，“且”对应“或”等；二是要注意否定词添加的位置，否则容易得出错误的结论． 解析：　(1)命题的否定：圆周率π不是无理数，是假命题． (2)命题的否定：空集∅不是集合A的子集，是假命题． (3)命题的否定：2不是质数或2不是偶数，是假命题． (4)命题的否定：6不是2的倍数且不是3的倍数，是假命题． 否定一个命题是对这个命题结论的否定，要灵活应用常见关键词对应的否定词．另外，命题和它的否定真假性相反，可运用此结论检查所写命题的否定是否正确．　　 即时练1.写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0； (3)r：等圆的面积相等，周长相等． 解析：　(1)这一命题可以表述为p：“对所有实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”， 其否定形式是“存在实数m，使得方程x2＋x－m＝0没有实数根”． 注意到当Δ＝1＋4m<0时，即m<－时， 一元二次方程没有实数根，所以命题p的否定是真命题． (2)这一命题的否定形式是“对所有的实数x，都有x2＋x＋1>0”， 因为x2＋x＋1＝＋≥>0， 所以命题q的否定是真命题． (3)这一命题的否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”， 由平面几何知识得等圆的面积相等，周长相等， 所以命题r的否定是假命题． 题型二　含有一个量词的命题的否定 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)p：每一个素数都是奇数； (2)q：有理数都能写成分数的形式； (3)t：某些平行四边形是菱形． 点拨：　→→→ 解析：　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，¬p：存在一个素数不是奇数，是真命题． (2)q是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，¬q：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题． (3)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，¬t：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题． (1)书写¬p的方法：存在量词命题的否定是把存在量词改为全称量词的同时，对命题的结论进行否定；全称量词命题的否定是把全称量词改为存在量词的同时，对命题的结论进行否定． ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 简记：否量词(或改量词)，否结论． (2)¬p的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假．当原命题为真时，命题的否定为假；当原命题为假时，命题的否定为真.　　 即时练2.(1)(2021·福建省福州市期中考试)命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是(　　) A．对任意的x∈R，2x≤0 B．存在x0∈R，2x0≥0 C．不存在x0∈R，2x0>0 D．对任意的x∈R，2x>0 (2)(2021·安徽省单元测试)命题p：∃x>0，ex＝x＋1的否定形式¬p为(　　) A．∀x≤0，ex≠x＋1 B．∀x>0，ex≠x＋1 C．∃x≤0，ex＝x＋1 D．∃x>0，ex≠x＋1 解析：　(1)∵命题“存在x0∈R，2x0≤0”是一个存在量词命题，∴命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是“对任意的x∈R，2x>0”．故选D. (2)命题p否定形式¬p为：∀x>0，ex≠x＋1，故选B. 答案：　(1)D　(2)B 题型三　全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题 已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围． 点拨：　命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解． 解析：　方法一　¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题， 即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立． 设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知， 当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1， 即实数m的取值范围是(1，＋∞). 方法二　¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题， 设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知， 只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1， 即实数m的取值范围是(1，＋∞). 已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围． (1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值). (2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值).　　 即时练3.已知命题“∀x∈R，关于x的方程x2＋2x＋a＝0无解”是假命题，求实数a的取值范围． 解析：　∵命题“∀x∈R，关于x的方程x2＋2x＋a＝0无解”是假命题， ∴“∃x0∈R，关于x的方程x＋2x0＋a＝0有解”是真命题， 即Δ≥0，∴4－4a≥0，解得：a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$