1.2.1 命题与量词-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.2　常用逻辑用语 1．2.1　命题与量词 [课标解读]1.命题的概念及命题的形式.2.全称量词与存在量词的意义.3.全称量词命题与存在量词命题的真假判断． 知识点一　命题的概念 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题． 一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如p，q，r，…. (1)有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语句的真假，随着时间的推移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然是命题． (2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断． (3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题． (4)数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可． 知识点二　全称量词和全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)” 知识点三　存在量词和存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)” 全称量词命题与存在量词命题的区别 (1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． (2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 1．下列语句中，是命题的个数是(　　) ①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ ②x，y都是无理数，则x＋y是无理数； ③请完成第九题； ④正方形既是矩形又是菱形． A．1 B．2 C．3 D．4 B　[①不是命题，因为它不是陈述句； ②是命题，是假命题，例如－＋＝0，不是无理数； ③不是命题，因为它不是陈述句； ④是命题，是真命题． 故选B.] 2．(2021·新疆维吾尔自治区单元测试)下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是(n－2)×180°. A．0 B．1 C．2 D．3 C　[由题意得，①③是全称量词命题，②是存在量词命题，故选C.] 3．(2021·全国单元测试)下列命题是存在量词命题的是(　　) ①有的数比它的倒数小；②平行四边形的对边相等；③存在有理数x，使x2－2＝0；④正方形都是平行四边形． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ A　[①中含有存在量词“有的”；②中隐含全称量词“所有”；③中含有存在量词“存在”；④中隐含全称量词“所有”．故①③是存在量词命题．故选A.] 4．(多选)(2021·江苏省镇江市月考试卷)下列命题为真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2≤1 B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件 C.集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合 D.设全集为R，若A⊆B，则∁RB⊆∁RA ABD　[对于A，当x＝0时，x2≤1，故A是真命题； 对于B，当a2＝b2时，则a＝±b，当a＝b时，则a2＝b2， 则a2＝b2是a＝b的必要不充分条件，故B是真命题； 对于C，集合{(x，y)∣y＝x2}与集合{y|y＝x2}不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C是假命题； 对于D，若A⊆B，则A中元素都在B中，不在B中的元素一定不在A中， 故x∈∁RB，则x∈∁RA，即∁RB⊆∁RA，故D是真命题．故选ABD.] 5．给出下列四个命题： ①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x＞0；④有一个素数含有三个正因数． 以上命题的否定为真命题的序号是________． 解析：　写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①②是真命题，③④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题． 答案：　③④ 题型一　命题真假的判断 判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假． (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数； (3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 点拨：　数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 解析：　(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题． (1)是真命题．因为奇数是不能被2整除的整数． (2)是假命题．反例：0的平方还是0，不是正数． (3)是真命题．由(a－1)2＋(b－1)2＝0, 可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1. (4)是假命题．反例：y＝4，x＝3也满足y＝x＋1. 判断命题真假的方法 (1)对于一般的命题，可根据我们已学过的定义、定理、公理等判断其真假．　　 (2)将一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断此命题真假的一般方法如下． ①若通过逻辑推理可以由p得到q，则可确定命题“若p，则q”为真；而要确定命题“若p，则q”为假，则只需举出一个反例． ②从集合的观点，我们建立集合A，B与p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，就是说，A是能使p成立的对象x所构成的集合，B是能使q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也能使q成立”)，即A⊆B. 即时练1.(2021·辽宁省其他类型)下列命题中真命题的个数为(　　) ①面积相等的三角形是全等三角形； ②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ③若a>b，则a＋c>b＋c； ④矩形的对角线互相垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 A　[①面积相等的三角形不一定全等，故错误； ②若xy＝0，则x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|不一定为0，故错误； ③若a>b，由不等式的性质可得a＋c>b＋c，故正确； ④矩形的对角线相等但不一定垂直，故错误． 故正确的只有③，个数为1，故选A.] 题型二　全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假 判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断真假： (1)对任意实数x，都有x2>0； (2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则|x1|<|x2|； (3)存在一个x∈R，使x2＋1<0. 点拨：　判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义进行判断． 解析：　(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题 (1)当x＝0时，x2＝0，∴命题是假命题 (2)当x1＝－2，x2＝1时|x1|>|x2|，∴命题是假命题． (3)对任意x∈R，x2＋1>0恒成立，∴命题是假命题． (1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． (2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．　　 即时练2.(2021·北京市市辖区月考试卷)下列命题中，真命题的是(　　) A．∀x∈R，x>0 B．如果x<2，那么x<1 C．∃x∈R，x2≤－1 D．∀x∈R，使x2＋1≠0 D　[A显然是假命题，x取负数就不符合； B中取x＝1.5，满足x<2，但x不小于1.故B是假命题； C中不存在x，使得x2≤－1， D中对∀x∈R总有x2＋1≥1， ∴x2＋1≠0，故D是真命题，故选D.] 题型三　全称量词命题、存在量词命题的求参问题 (1)已知命题“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”是真命题，求实数a的取值范围； (2)已知命题“∃x∈[1，2]，x2－a≥0”是真命题，求实数a的取值范围． 点拨：　 解析：　(1)由已知可得“a≤x2”对∀x∈[1，2]恒成立． 设y＝x2，当x∈[1，2]时，y随x的增大而增大，即y最小值＝1，由不等式恒成立可得，a≤1. (2)由已知可得“a≤x2”对x∈[1，2]能成立． 设y＝x2，当x∈[1，2]时，y随x的增大而增大，即y最大值＝4，由不等式能成立可得，a≤4. (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决有关“恒成立”的问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解． (2)存在量词命题的常见题型是用适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述的．解答这类问题时，一般要先对结论做出肯定存在的假设，然后从此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性．　　 即时练3.(2021·山东省单元测试)命题p：存在x>a，使得2x＋a<3.若命题p为假命题，求实数a的取值范围． 解析：　命题p为假命题，则¬p：对任意的x>a，都有2x＋a≥3为真命题． 由此可得2a＋a≥3，即a≥1.所以实数a的取值范围是a≥1. 易错一　命题的概念理解不清 1．判断下列语句是不是命题． (1)哥德巴赫猜想； (2)宇宙中存在外星人． 正解：　(1)(2)都是命题，因为能对它们的真假做出判断，尽管现在不能确定它们的真假，但它们的真假性是客观存在的，并不是无法判断的． [易错探因]　本题易错的地方是认为两个语句目前无法判断真假，从而判断两个语句都不是命题． [误区警示]　对于一些科学技术或大自然中的疑问，虽然现在我们还不能做出相应的判断，但随着科学技术的发展和时间的推移，我们终究会做出相应的判断，所以“判断真假”不是指“现在就进行判断”． 易错二　判断命题真假时忽视特例的作用致错 2．判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0； (2)∃x∈R，|x|≤0. 正解：　(1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题． (2)∵当x＝0时，|x|≤0成立，∴原命题是真命题． [易错探因]　(1)此处易忽略x＝－1，从而漏掉x2＋2x＋1＝0，导致判断错误． (2)此处易忽略当x＝0时，|x|＝0，而0≤0成立． [误区警示]　判断含量词的命题的真假时，一定要注意特殊情况，如特殊值、特殊点，特别是问题中涉及的临界点．若找不到特例，则需根据相关数学知识进行简单推理． 学科网（北京）股份有限公司 $$