1.1.3 第2课时 补集及综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　补集及综合应用 知识点　补集 1．全集的概念 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示． 全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R作为全集；当我们只讨论大于0且小于5的实数时，可选{x|0<x<5}为全集，通常也会把给定的集合作为全集． 2．补集的概念 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA，读作“A在U中的补集”． 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 图形语言 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的. (3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比： 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)U 减数b 减集合A 差a－b 补集∁UA (4)符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 1．(2021·天津市单元测试)已知全集U＝{1，2，3，4}，若A＝{1，3}，则∁UA＝(　　) A．{1，2} B．{1，4} C．{2，3} D．{2，4} D　[∵全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}， ∴∁UA＝{2，4}，故选D.] 2．(2021·全国单元测试)已知全集U＝R，A＝{x|－2<x≤3}，∁UA＝(　　) A．{x|x≤－2} B．{x|x≤－2或x>3} C．{x|x≥3} D．{x|x≤－2或x≥3} B　[因为全集U＝R，A＝{x|－2<x≤3}， 所以，∁UA＝{x|x≤－2或x>3}，故答案为B.] 3．(多选)已知集合A＝{x|－3<x<6}，B＝{x|2<x<7}，则∁A(A∩B)的子集可以是(　　) A．{x|－3≤x≤2} B．{x|－3<x≤2} C．{x|－3≤x<2} D．{x|－3<x<2} BD　[∵A＝{x|－3<x<6}，B＝{x|2<x<7}， ∴A∩B＝{x|2<x<6}， ∴∁A(A∩B)＝{x|－3<x≤2}． ∴∁A(A∩B)的子集可以是{x|－3<x≤2}，{x|－3<x<2}．故选BD.] 4．(2021·全国期末考试)已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{1，2，3}，则(∁UM)∩N＝__________． 解析：　∵U＝{0，1，2，3，4，5}，M＝{1，4}，N＝{1，2，3}， 则(∁UM)∩N＝{0，2，3，5}∩{1，2，3}＝{2，3}，故答案为：{2，3}． 答案：　{2，3} 5．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________． 解析：　∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}， ∴N＝{x|x≤0或x≥2}． ∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}． 答案：　{x|x<1或x≥2} 题型一　补集的运算 (1)设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{4}　　　　　　　　　 B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4} (2)已知集合A＝{x|－1<x－3≤2}，B＝{x|3≤x<4}，则∁AB＝(　　) A．{x|2<x<3或4<x<5} B．{x|2<x≤3或4<x≤5} C．{x|2<x<3或4≤x≤5} D．{x|2<x≤3或4≤x≤5} 点拨：　注意补集的概念及“∁UA”符号的含义． 解析：　(1)图中阴影部分表示的集合在集合A中但不含集合B中的元素，故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB).因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，3}，所以∁UB＝{4，5}．因为A＝{2，4}，所以A∩(∁UB)＝{4}．故选A. (2)由A＝{x|－1<x－3≤2}，得A＝{x|2<x≤5}． 又因为B＝{x|3≤x<4}，所以∁AB＝{x|2<x<3或4≤x≤5}，故选C. 答案：　(1)A　(2)C 求集合补集的依据及处理技巧 (1)依据：集合补集的定义． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助维恩图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．　　 即时练1.(1)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2>4}，则∁UA＝(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<2} D．{x|x≤2} (2)已知全集A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}，则∁AB＝__________． 解析：　(1)A＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}，∁UA＝{x|－2≤x≤2}． (2)∵B＝{－2，－1}， ∴∁AB＝{0，1，2}． 故答案为：{0，1，2} 答案：　(1)A　(2){0，1，2} 题型二　集合交、并、补的综合运算 (1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁UA)＝(　　) A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7} (2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP). 点拨：　(1)先求∁UA，再求B∩(∁UA). (2)根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解． 解析：　(1)依题意得∁UA＝{1，6，7}，故B∩(∁UA)＝{6，7}．故选C. (2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． 因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1，或x>3}． 又P＝，所以(∁UB)∪P ＝. 又∁UP＝，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}． 答案：　(1)C　(2)见解析 求集合交、并、补运算的方法 　　 即时练2.(1)(2021·福建省福州市期末考试)已知全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则A∪(∁UB)＝(　　) A．{1} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} (2)(2021·全国月考试卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{2} B．{4，5} C．{3，4} D．{2，3} 解析：　(1)∵全集U＝{x∈N*|x≤4}＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}， ∴∁UB＝{1，3}，则A∪(∁UB)＝{1，2，3}．故选C. (2)∵集合A＝{x|－2<x<4}， ∴∁RA＝{x|x≥4或x≤－2}， ∴(∁RA)∩B＝{4，5}，故选B. 答案：　(1)C　(2)B 题型三　补集思想的应用 已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． 点拨：　直接利用A∩B≠∅求解，不好打开解题思路，可以采取补集思想，先求满足A∩B＝∅的情况． 解析：　先求A∩B＝∅时m的取值范围． (1)当A＝∅时，① 方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根， 所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)<0，解得m>－1. (2)当A≠∅，A∩B＝∅时， 方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．② 设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2， 则③ 即解得－3≤m≤－1， 综上，当A∩B＝∅时， m的取值范围是{m|m≥－3}． 又因为U＝R，所以当A∩B≠∅时，④ m的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m<－3}． 所以，A∩B≠∅时，m的取值范围是{m|m<－3}． 1．运用补集思想求参数范围的方法： (1)否定已知条件，考虑反面问题； (2)求解反面问题对应的参数范围； (3)将反面问题对应参数的范围取补集． 2．补集思想适用的情况： 从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．　　 即时练3.若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a的取值范围． 解析：　假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则解得a<且a≠0，则此时实数a的取值范围是 .在全集U＝R中，集合的补集是.所以满足题意的实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$