1.1.3 第1课时 交集与并集-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.1.3　集合的基本运算 [课标解读]1.交集、并集、全集与补集的概念.2.交集、并集、补集的性质.3.会求两个集合的交集、并集、补集.4.能用集合运算数学符号和维恩图进行集合的相关运算． 第1课时　交集与并集 知识点一　交集 自然语言 一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”． 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 图形语言 　 　　 对交集概念的理解 (1)对于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B的公共元素都属于A∩B，这就是文字定义中“所有”二字的含义，如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3}，而不是{2}或{3}． (2)任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅. (3)当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立． 知识点二　并集 自然语言 一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”． 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 图形语言 　 　 　　　 说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集． (1)并集符号语言中，“x∈A或x∈B”包括下列三种情况：①x∈A，且x∉B；②x∉A，且x∈B；③x∈A，且x∈B，可用下图形象地表示． (2)求A∪B时要注意集合中元素的互异性，相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素．例如，A＝{1，2，3}，B＝{1，3，5，7}，A∪B＝{1，2，3，5，7}，而不能写成A∪B＝{1，2，3，1，3，5，7}． 1．(2021·江苏省盐城市期末考试)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} C　[∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选C.] 2．(2021·辽宁省沈阳市联考题)已知M＝{x|0<x<1}，N＝{x|x≥－1}，则M∪N＝(　　) A．{x|0<x<1} B．{x|－1≤x<1} C．{x|x≥－1} D．{－1，0，1} C　[由题意，M∪N＝{x|0<x<1}∪{x|x≥－1}＝{x|x≥－1}．] 3．设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．8 C　[因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，故选C.] 4．(2021·全国单元测试)设集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x||x＋3|<3}，则A∪B＝__________． 解析：　集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x||x＋3|<3}＝{x|－6<x<0}，可知A∪B＝{x|－6<x<2}． 故答案为：{x|－6<x<2} 答案：　{x|－6<x<2} 5．(2021·湖南省长沙市期末考试)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B＝__________． 解析：　B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{1，2，5}，又A＝{－2，－1，0，1，2} ∴A∩B＝{1，2}． 答案：　{1，2} 题型一　交集的运算 (1)已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　) A．(－1，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，2) C．(－1，2) D．∅ (2)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{－1，1} D．{0，1，2} 解析：　(1)依题意得A∩B＝{x|－1<x<2}，选C. (2)集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}． 答案：　(1)C　(2)A 求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　 即时练1.(1)(2021·全国历年真题)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝(　　) A．{7，9} B．{5，7，9} C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9} (2)已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x≤0或x>3}，则A∩B＝ __________． 解析：　(1)因为N＝{x|2x>7}＝{x|x>}，M＝{1，3，5，7，9}，所以M∩N＝{5，7，9}． (2)集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x≤0或x>3}，则A∩B＝(－1，0]，故答案为(－1，0]. 答案：　(1)B　(2)(－1，0] 题型二　并集的运算 (1)已知集合A＝{x∈R|x2≥9}，集合B＝{x∈R|2≤x<6}，则A∪B＝(　　) A．{x∈R|x≤－3或x≥3} B．{x∈R|x≤－3或x>6} C．{x∈R|－3≤x<6} D．{x∈R|x≤－3或x≥2} (2)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　) A．{2} B．{2，3} C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4} 解析：　(1)由题意知A＝{x∈R|x≥3或x≤－3}，B＝{x∈R|2≤x<6}．利用数轴将集合A，B表示出来，如下图所示，可知A∪B＝{x∈R|x≤－3或x≥2}． (2)由条件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．] 答案：　(1)D　(2)D (1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次． (2)此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合．若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用维恩图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意端点值的取舍．　　 即时练2.(1)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝(　　) A．(－1，3) B．(－1，0) C．(0，2) D．(2，3) (2)已知集合A＝{1，3，4，6}，B＝{x|x＝2k，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________． 解析：　(1)∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}， ∴A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A. (2)∵A＝{1，3，4，6}，B＝{x|x＝2k，k∈A}， ∴B＝{2，6，8，12}， ∴集合A∪B中元素的个数为7. 答案：　(1)A　(2)7　 题型三　交集、并集性质的运用 已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值． 点拨：　 审结论 (明解题方向) 审条件 (挖解题信息) 求a的值，需建立关于a的方程 (1)集合A，B，C是由相应方程的解构成的，先要解方程求B，C (2)由∅(A∩B)，知A∩B≠∅，结合A∩C＝∅，可确定集合A中的元素，建立关于a的方程 建关系——找解题突破口 ∅(A∩B)、A∩C＝∅→确定集合A中的元素→建立关于a的方程→检验集合中元素的互异性． 解析：　A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}， B＝{2，3}，C＝{－4，2}． 因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅， 所以3∈A，故9－3a＋a2－19＝0. 即a2－3a－10＝0. 所以a＝－2或a＝5. 当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意． 当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}， 不符合A∩C＝∅. 综上知，a＝－2. (1)连续数集求交、并集时，要借助数轴，采用数形结合法． (2)利用A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A可实现交、并运算与集合间关系的转化． 注意：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚． (2)关注维恩图在解决复杂集合关系中的作用．　　 即时练3.(2021·新疆维吾尔自治区阿勒泰地区期末考试)已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}， (1)当a＝10时，求A∩B，A∪B； (2)求能使A∪B＝B成立的a的取值范围． 解析：　(1)当a＝10时，集合A＝{x|21≤x≤25}，B＝{x|3≤x≤22}， ∴A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}． (2)∵非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，A∪B＝B，∴A⊆B， ∵A≠∅，∴解得6≤a≤9. ∴a的取值范围是[6，9]. 学科网（北京）股份有限公司 $$