1.1.2 集合的基本关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.1.2　集合的基本关系 [课标解读]1.子集、真子集的概念.2.集合之间包含与相等的含义.3.会判断两个集合间的关系.4.能用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系． 知识点一　子集的概念 概念 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”). 图示 性质 ①任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. ②空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. ③传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意的x∈A，都能推出x∈B.　 (2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A，分别记作AB或B⊉A. (3)若A⊆B，则A有以下三种情况： ①A是空集； ②A是由B的部分元素构成的集合； ③A是由B的全部元素构成的集合． 故不能简单地认为“若A⊆B，则A是由B的部分元素构成的集合”． 知识点二　真子集 概念 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 图示 性质 ①任意集合A都不是它自身的真子集． ②空集是任意一个非空集合A的真子集，即∅A. ③传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC. (1)真子集的概念也可以叙述为：若集合A⊆B，存在元素x满足x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集． (2)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x满足x∈B，且x∉A.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不成立． (3)空集是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一特例． (4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少1. 知识点三　集合的相等与子集的关系 1．集合相等的定义 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. 由集合相等以及子集的定义可知： (1)如果A⊆B且B⊆A，则A＝B； (2)如果A＝B，则A⊆B且B⊆A； (3)A＝B且B＝C，则A＝C. 2．两集合间的关系 两个集合A，B之间的关系如下： (1)A⊆B⇒ (2)AB. (1)注意符号“⊆”与“”的区别．A⊆B⇒A＝B或AB.若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确地表示集合A，B之间的关系． 例如，若集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A是集合B的子集，也是集合B的真子集，用A⊆B与AB均可，但用AB更准确． (2)若A⊆B和A＝B同时成立，则A＝B更能准确地表示出集合A，B之间的关系． 1．(2021·辽宁省其他类型)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 B　[对①，集合与集合之间不能用∈符号，故①不正确； 对②，任何集合都是本身的子集，故②正确； 对③，空集是任何集合的子集，故③正确； 对④，空集是不含任何元素的集合，而{0}是含有1个元素的集合，故④不正确； 对⑤，集合{0，1}是数集，含有2个元素，集合{(0，1)}是点集，只含1个元素，故⑤不正确； 对⑥，元素与集合只能用∈或∉符号，故⑥不正确． 所以正确的个数有2个．故选B.] 2．(2021·浙江省金华市单元测试)设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 C　[集合A＝{m，n}，则其子集有22＝4个．故答案选：C.] 3．(多选)(2021·江西省单元测试)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} ACD　[由已知，A＝{0，2}， A选项，∅是任何集合的子集，故A正确； B选项，－2∉A，故B错误； C选项，任何集合都是它本身的子集，故C正确； D选项，{0，2}⊆{y|y<3}，故D正确；故选ACD.] 4.已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列结论中正确的是________(填序号). ①S⊆U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊇F；⑤S⊆F；⑥F⊆U. 解析：　由图可得出集合之间的关系． 答案：　①③⑥ 5．(2021·浙江省温州市同步练习)已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且B⊆A，则a＝__________． 解析：　∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a. ①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足B⊆A， 当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足B⊆A. ②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1， 当a＝1时，A＝{1，3，1}不满足集合元素的互异性， 综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2；答案为－1或2. 答案：　－1或2 题型一　集合间关系的判断 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0<x<5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}； (4)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}； (5)A＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}． 点拨：　(1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用维恩图判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合A中方程得到集合P，再根据集合B中n为奇数、偶数得到集合Q，进行判断；(4)可以根据集合元素的特征或者集合的几何意义判断；(5)将A中x关于a的关系式，改写成B中的形式再进行判断． 解析：　(1)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA. (2)∵A是偶数集，B是4的倍数集，∴BA. (3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B. (4)方法一　由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B. 方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B. (5)对于任意x∈A，有x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5. ∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈B. 由子集的定义知，A⊆B. 设1∈B，此时a2－4a＋5＝1，解得a＝2∈N*. ∵1＋a2＝1在a∈N*时无解，∴1∉A. 综上所述， AB. 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B.若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集； 若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B. (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．　　 即时练1.判断下列每组中两个集合的关系： (1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1<x<2}； (2)A＝， B＝； (3)A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解析：　(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示， 显然有BA. (2)在集合A中，x＝k＋＝，k∈Z. 当k∈Z时，2k＋1是奇数，所以集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数． 在集合B中，x＝2k＋＝，k∈Z. 当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数．故BA. (3)当n∈N*时，由x＝2n－1知x＝1，3，5，7，9，…. 由x＝2n＋1知x＝3，5，7，9，…. 故A＝{1，3，5，7，9，…}，B＝{3，5，7，9，…}， 因此BA. 题型二　子集、真子集及个数问题 设A＝{x|(x2－16)(x＋1)(x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 点拨：　→→ 解析：　由(x2－16)(x＋1)(x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1，4}． 由0个元素构成的子集为：∅. 由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}． 由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}． 因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． (1)求集合子集、真子集个数的三个步骤 (2)若集合A中含有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.　　 即时练2.(1)(2021·广东省单元测试)已知集合A＝{x|mx2－2x＋m＝0}仅有两个子集，则实数m的取值构成的集合为(　　) A．{－1，1} B．{－1，0，1} C．{0，1} D．∅ (2)(2021·安徽省滁州市期中考试)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．3 B．4 C．8 D．16 解析：　(1)由集合A＝{x|mx2－2x＋m＝0}仅有两个子集，说明集合A中元素只有一个， 由题意，①当m＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，满足A＝{0}仅有两个子集； ②当m≠0时，方程有两个相等实根，所以Δ＝4－4m2＝0，解得m＝±1； 所以实数m的取值构成的集合为：{0，1，－1}．故选B. (2)由题意可知A＝{1，3}，B＝{1，2，3，4}，若满足条件A⊆C⊆B，则C＝{1，3}，{1，3，2}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，共4个集合． 答案：　(1)B　(2)B 题型三　根据集合的包含关系求参数 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若BA，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，求实数m的取值范围． 点拨：　两个集合都是连续型的无限集，可考虑用数轴来表示． 解析：　(1)①当B≠∅时，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是m≤3. (2)当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅. ∴即∴m不存在． 即不存在实数m使A⊆B. (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合． (2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示． (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为集合是非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．　　 即时练3.已知集合A＝{x|x≤－3或x≥4}，B＝{x|4a≤x≤a＋3}．若B⊆A，求实数a的取值范围． 解析：　当B＝∅时，4a>a＋3得a>1， 当B≠∅时，应满足解得a＝1或a≤－6. 综上得 a≥1或a≤－6. 学科网（北京）股份有限公司 $$