2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 第二章 等式与不等式 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 2．1　等式 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 [课标解读]1.一元二次方程的概念.2.一元二次方程的解法.3.一元二次方程根与系数的关系． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 新知形成 夯实基础 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 知识点一　一元二次方程的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式Δ＝b2－4ac. (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a))) ； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))) ； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号．若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 知识点二　一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝ eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a) ，x2＝ eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a) ，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1x2＝\f(c,a)．)) 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (1)如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q. (2)以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 1．下列实数中，是方程x2－4＝0的解集的是(　　) A．{1，－1} B．{2，－2} C．{3，2} D．{4，－2} B　[移项得x2＝4，开方得x＝±2， ∴x1＝2，x2＝－2. 解集为{2，－2 }，故答案为B.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 2．(多选)(2021·全国同步练习)一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是(　　) A.x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2 C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝2 CD　[因为一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别为x1，x2，所以由根与系数关系得：x1＋x2＝3，x1x2＝2，故选CD.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 3．(多选)若一元二次方程x2＝m有解，则m的取值可以是(　　) A．正数　　 B．负数　　 C．一切实数　　 D．零 AD　[当m≥0时，一元二次方程x2＝m有解．故m可以是正数或0.] 4．方程x2－2x＋3＝0的解集是__________． 解析：　∵Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，∴方程的解集为∅. 答案：　∅ 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 合作探究 素能提升 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 题型一　求一元二次方程的解集 用适当的方法求下列方程的解集． (1)x2－2x－8＝0； (2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. 点拨：　根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 解析：　(1)方法一　移项，得x2－2x＝8.配方，得(x－1)2＝9.由此可得x－1＝±3. ∴x1＝4，x2＝－2.∴方程的解集为{－2，4}． 方法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0， ∴x－4＝0或x＋2＝0.∴x1＝4，x2＝－2. ∴方程的解集为{－2，4}． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (2)方法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0， ∴x－2＝0或2x－3＝0.∴x1＝2，x2＝ eq \f(3,2) . ∴方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))) . 方法二　∵a＝2，b＝－7，c＝6，∴Δ＝b2－4ac＝1>0. ∴x＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) ＝ eq \f(－（－7）±\r(1),2×2) ，即x1＝2，x2＝ eq \f(3,2) . ∴方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))) . 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0. 因式分解，得(x－1)(x－1－2)＝0.∴x－1＝0或x－3＝0.∴x1＝1，x2＝3.∴方程的解集为{1，3}． 解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法．公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程．　　 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 即时练1.(2021·全国同步练习)求下列方程的解集： (1)3x2＋8x－3＝0； (2)x2＋3x－1＝0； (3)(x＋4)2＝5(x＋4)； (4)(x－1)2－2(x－1)＝15. 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 解析：　(1)因式分解法：(3x－1)(x＋3)＝0， ∴3x－1＝0或x＋3＝0，解得：x＝ eq \f(1,3) 或x＝－3， ∴方程的解集为： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,3))) . (2)公式法：∵Δ＝32－4×1×(－1)＝13>0， ∴x1＝ eq \f(－3－\r(13),2) ，x2＝ eq \f(－3＋\r(13),2) . ∴方程的解集为： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－3－\r(13),2)，\f(－3＋\r(13),2))) . 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (3)因式分解法：(x＋4)[(x＋4)－5]＝0， 即(x＋4)(x－1)＝0，∴x＋4＝0或x－1＝0， 解得x＝－4或x＝1，∴方程的解集为：{－4，1}． (4)因式分解法：方程化为(x－1)2－2(x－1)－15＝0， ∴[(x－1)－5][(x－1)＋3]＝0， ∴(x－6)(x＋2)＝0，∴x－6＝0或x＋2＝0， 解得x＝6或x＝－2， ∴方程的解集为：{－2，6}． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 题型二　一元二次方程根的判别式的应用 已知关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． 点拨：　(1)方程的二次项系数为m＋1，因此不确定方程是否为一元二次方程，需对m＋1与0的关系进行讨论． (2)方程有两个相等的实数根，则该方程为一元二次方程，故可利用根的判别式进行求解． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 解析：　(1)关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根，分两种情况讨论： ①当m＋1＝0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根； ②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程， 因为已知方程有实数根，所以Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0，解得m≥－ eq \f(3,2) 且m≠－1. 综上可知，当m≥－ eq \f(3,2) 时，方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有实数根． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (2)∵关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12＝0， 解得m＝－ eq \f(3,2) ， ∴方程为－ eq \f(1,2) x2－3x－ eq \f(9,2) ＝0， 两边同时乘以－2，得x2＋6x＋9＝0，即(x＋3)2＝0， 解得x1＝x2＝－3. 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围． (2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为Δ＝b2－4ac. ①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”； ②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ＝0”； ③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”； ④“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”．　　 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 即时练2.(2021·江苏省单元测试)方程(x－1)2＝t－2(t为常数)的解集为(　　) A．∅ B．{1} C．{1－ eq \r(t－2) ，1＋ eq \r(t－2) } D．∅或{1}或{1－ eq \r(t－2) ，1＋ eq \r(t－2) } 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 D　[当t－2<0，即t<2时，方程的解集为∅； 当t－2＝0，即t＝2时，方程的解集为{1}； 当t－2>0，即t>2时，方程的解集为{1－ eq \r(t－2) ，1＋ eq \r(t－2) }． 综上知，方程的解集为∅或{1}或{1－ eq \r(t－2) ，1＋ eq \r(t－2) }．故选D.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 题型三　一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足 eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝－2，则m的值是(　　) A．－2 B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D．2 点拨：　先把代数式 eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) 变形为两根之积与两根之和的形式，然后将两根之和、两根之积代入，得出关于m的方程，再解方程即可． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 B　[根据根与系数的关系有x1＋x2＝1，x1x2＝m， ∴ eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x2＋x1,x1x2) ＝ eq \f(1,m) .又 eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝－2， ∴ eq \f(1,m) ＝－2，解得m＝－ eq \f(1,2) .] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形： (1)x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋2x1x2＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) )－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2) eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1x2) ； (3)|x1－x2|＝ eq \r(（x1－x2）2) ＝ eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ； (4) eq \f(x2,x1) ＋ eq \f(x1,x2) ＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(x＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,x1x2) ＝ eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2) ； (5)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (6)(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2.　　 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 即时练3.(2021·全国同步练习)已知x1，x2是方程x2－ eq \r(7) x＋1＝0的两根，则x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　[∵x1，x2是方程x2－ eq \r(7) x＋1＝0的两根， ∴x1＋x2＝ eq \r(7) ，x1x2＝1， x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＝(x1＋x2)2－2x1x2＝7－2＝5，故选D.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 课 时 精 练（九） 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 谢谢观看！ $$