2.1.1 等式的性质与方程的解集-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 第二章 等式与不等式 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 2．1　等式 　2.1.1　等式的性质与方程的解集 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 [课标解读]1.等式的性质.2.恒等式.3.方程的解集． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 新知形成 夯实基础 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 知识点一　等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． 如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c. 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc. 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (1)因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立． (2)等式性质的延伸： ①对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a； ②传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换). 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 知识点二　恒等式 1．恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 恒等式是进行代数变形的依据之一． 平方差公式、两数和(差)的平方公式都是恒等式． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 2．“十字相乘法” 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则 x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (1)运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． (2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 知识点三　方程的解集 1．方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫方程． 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 解方程 求方程的解的过程叫解方程． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 2.一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程． 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 表示形式 ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0). 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 1．(2021·江西省其他类型)已知等式a＝b，c为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是(　　) A．a－c＝b－c B．a＋c＝b＋c C．2－3a＝2－3b D． eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 D　[A.根据等式性质，等式两边都减c，即可得到a－c＝b－c，故这个选项不符合题意； B．根据等式性质，等式两边都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故这个选项不符合题意； C．根据等式性质，等式两边都乘以－3，根据等式性质，等式两边都加2，即可得到2－3a＝2－3b，故这个选项不符合题意； D.根据等式性质，等式两边都除以c时，应加条件c≠0，等式不一定成立，故这个选项符合题意；故选D.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 2．(2021·山东省青岛市同步练习)化简(a＋1)2－(a－1)2等于(　　) A．2 B．4 C．4a D．4a2＋2 C　[(a＋1)2－(a－1)2＝[(a＋1)－(a－1)][(a＋1)＋(a－1)]＝2×2a＝4a.故选C.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 3．(多选)(2021·全国单元测试)下列等式中是恒等式的是(　　) A．a＋b＝b＋a B．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C．(x＋2y)2＝x2＋4y2 D．x2－2y2＝(x－ eq \r(2) y)(x＋ eq \r(2) y) ABD　[由等式的性质知A、B选项正确； 由(x＋2y)2＝x2＋4xy＋4y2知C选项错误； 由平方差公式知D选项正确．故选ABD.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 4．方程 eq \f(x－3,2) － eq \f(2x＋1,3) ＝1的解集为(　　) A．{－17} B．{17} C．{4} D．{1} A　[通分得， eq \f(3（x－3）－2（2x＋1）,6) ＝1，去分母，去括号得，3x－9－4x－2＝6，系数化为1得，x＝－17，即其解集为{－17}．故选A.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 5．(2021·广东省单元测试) (十字相乘法)分解因式：2x2－x－15＝__________． 解析：　2x2－x－15＝(x－3)(2x＋5).故答案为：(x－3)(2x＋5). 答案：　(x－3)(2x＋5) 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 合作探究 素能提升 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 题型一　等式的性质与恒等式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，则a－c＝c－b B．若a2＝ab，则a＝b C．若a＝b，则 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) D．若 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) ，则a＝b (2)先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)，其中x＝1，y＝－1. 点拨：　(1)利用等式的性质判断． (2)先化简，再把x＝1，y＝－1代入求值． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 解析：　(1)A中，由等式的性质1可得a－c＝b－c，而不是a－c＝c－b，故A错误；B中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等式两边才能同时除以a，从而得到a＝b，故B错误；C中，根据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时除以c，从而得到 eq \f(a,c) ＝ eq \f(b,c) ，故C错误；D中，由分式的分母不为0可知c≠0，根据等式的性质2，等式两边同时乘以c，可得a＝b，故D正确． (2)原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy. 当x＝1，y＝－1时，原式＝9xy＝－9. 答案：　(1)D　(2)－9 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (1)等式的性质是等式的变形依据．在运用性质1时，必须是在等式的两边同时加上(或减去)“同一个数”或“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一边． (2)恒等式成立的条件是等号两端式子中对应项的系数相等，这也是我们根据恒等式求值的依据．　　 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 即时练1.(2021·辽宁省单元测试)若多项式x2＋mx＋36因式分解的结果是(x－2)(x－18)，则m的值是(　　) A．－20 B．－16 C．16 D．20 A　[x2＋mx＋36＝(x－2)(x－18)＝x2－20x＋36，可得m＝－20，故选A.] 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 题型二　用“十字相乘法”分解因式 分解因式： (1)x2＋x－2； (2)x2－ eq \f(5,2) x＋1； (3)2x2＋11x＋12； (4)5x2－7x－6. 点拨：　分解x2＋(a＋b)x＋ab型的式子时，有时需要经过多次尝试，才能使交叉相乘后再相加所得的和等于一次项系数． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 用“十字相乘法”分解因式的步骤 (1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； (2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； (3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数； (4)写出最终结果．　　 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 即时练2.(2021·山东省青岛市同步练习)分解因式：(1)x2－2x－15. (2)(m2＋2m)2－7(m2＋2m)－8. 解析：　(1)x2－2x－15＝x2＋(3－5)x＋3×(－5)＝(x＋3)(x－5). (2)(m2＋2m)2－7(m2＋2m)－8＝(m2＋2m)2＋(－8＋1)(m2＋2m)＋(－8)×1＝(m2＋2m－8)(m2＋2m＋1)＝(m＋4)(m－2)(m＋1)2. 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 题型三　方程的解集 考点1　一元一次方程的解集 求下列方程的解集： (1)2(x－1)＝5－x； (2)2x－ eq \f(1,3) (5x－6)＝10－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－7)) . 点拨：　 eq \x(去括号) → eq \x(移项) → eq \x(合并同类项) → eq \x(\a\al(未知数的,系数化为1)) → eq \x(解集) 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 解析：　(1)去括号，得2x－2＝5－x. 移项，得2x＋x＝5＋2. 合并同类项，得3x＝7. 系数化为1，得x＝ eq \f(7,3) . 因此方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(7,3))) . 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (2)去括号，得2x－ eq \f(5,3) x＋2＝10－ eq \f(2,3) x＋7. 移项，得2x－ eq \f(5,3) x＋ eq \f(2,3) x＝10＋7－2. 合并同类项，得x＝15. 因此方程的解集为{15}． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 考点2　一元二次方程的解集 求下列方程的解集： (1)x2－3x－4＝0； (2)x＋2＝3x2； (3)6x(x＋1)＝5(x＋1)； (4)(2x－1)2－(x＋1)2＝0. 点拨：　因式分解法的前提是方程有解，其关键在于如何根据十字相乘法把二次项的系数与常数项进行数值分解，使得两组数值交叉乘积之和等于一次项的系数，所以在分解过程中应不断调试数值． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 解析：　(1)因为x2－3x－4＝(x＋1)(x－4)， 所以原方程可化为(x＋1)(x－4)＝0， 故x＋1＝0或x－4＝0， 解得x＝－1或x＝4. 因此原方程的解集为{－1，4}． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (2)因为3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)， 所以原方程可化为(3x＋2)(x－1)＝0， 故3x＋2＝0或x－1＝0， 解得x＝－ eq \f(2,3) 或x＝1. 因此原方程的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)) . 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (3)∵6x(x＋1)＝5(x＋1)， ∴(x＋1)(6x－5)＝0， ∴x＋1＝0或6x－5＝0. ∴x＝－1或x＝ eq \f(5,6) . ∴原方程的解集为{－1， eq \f(5,6) }． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (4)∵(2x－1)2－(x＋1)2＝0， ∴4x2－4x＋1－x2－2x－1＝0. ∴3x2－6x＝0. ∴x(x－2)＝0. ∴x＝0或x＝2. ∴原方程的解集为{0，2}． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0； (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解． 注意：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项使方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根．②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．　　 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 即时练3.求一元二次方程的解集： (1)x2－x＝0； (2)x2＋5x－14＝0. 解析：　(1)x2－x＝0，分解因式得：x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1. 所以方程的解集为：{0，1}． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 (2)x2＋5x－14＝0， 分解因式得：(x＋7)(x－2)＝0， x＋7＝0或x－2＝0， 解得：x1＝－7，x2＝2. 所以方程的解集为：{－7，2}． 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 课 时 精 练（八） 第二章　等式与不等式 课 时 精 练 数 学 必修 第一册 新知形成 夯实基础 合作探究 素能提升 谢谢观看！ $$