3.1.2 第2课时 分段函数-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

3.1.2　函数的表示法 第2课时　分段函数 　 第 三 章 3.1　函数的概念及其表示 学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数．　 2.给出分段函数，能研究有关性质．　 3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　分段函数 内 容 索 引 知识点　分段函数 索引 某市公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内，票价2元； (2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站． 请回答以下问题： 1．从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？ 提示：有函数关系． 2．函数的表达式是什么？ 问题导思 分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的__________，则称这样的函数为分段函数． 新知形成 对应关系 关于分段函数概念的理解 (1)分段函数是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 微提醒 例1 (2)若f(a)＝2，求a的值． 当a≤－1时，由f(a)＝2，得a＋2＝2，a＝0(舍去)；当－1＜a＜2时，由f(a)＝2，得2a＝2，a＝1； 1．利用分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值(范围)的步骤 (1)先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式)． (2)解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围． (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．　　 方法技巧 √ A．[－4，2) B．[－4，2] C．(0，2] D．(－4，2] √ 索引 综　合　应　用 索引 应用一　分段函数的图象及应用 　　 (链接教材P68例6)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； 图象法：在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义， 可得函数φ(x)的图象如图②. 解析法：令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 例2 (2)求函数φ(x)的定义域，值域． 由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， 所以φ(x)的值域为(－∞，1]． 画含限制条件的函数图象的步骤 第一步：画出初始函数的图象； 第二步：根据已知的限制条件判断在每个范围内的图象是否符合题意； 第三步：不在区域内的图象或不满足限制条件的图象改为虚线或不画． 方法技巧 即时练3.若函数f(x)＝|x|，则函数f(x)的图象是 √ 即时练4.已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式． 由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成， 当－1≤x＜0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 将(－1，0)，(0，1)代入解析式， 所以f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)， 将(1，－1)代入，则k＝－1.所以f(x)＝－x. 应用二　分段函数的实际应用 　　　(链接教材P70例8)某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； 由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， 例3 (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ ①12≤x≤20时，令6x＝90，解得x＝15， 即当12≤x＜15时，f(x)＜g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15＜x≤20时，f(x)＞g(x)． ②当20＜x≤30时，f(x)＞g(x)， 故当12≤x＜15时，选A俱乐部合算， 当x＝15时，两家俱乐部一样合算， 当15＜x≤30时，选B俱乐部合算． 分段函数的实际应用 1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． 2．分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 方法技巧 即时练5.某市乘出租车计费规定：2千米以内(包含2千米)5元，超过2千米但不超过8千米的部分按每千米1.6元计费，超过8千米以后的部分按每千米2.4元计费． (1)写出乘出租车所走路程x(单位：千米)与乘车费y的函数关系y＝f(x)； 由题意得 (2)若甲、乙两地相距10千米，则乘出租车从甲地到乙地需要支付乘车费多少元？ 因为甲、乙两地相距10千米，即x＝10＞8，所以车费y＝2.4×10－4.6＝19.4(元)，所以乘出租车从甲地到乙地需要支付乘车费19.4元. 索引 索引 1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D．然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B． √ 因为D(x)∈{0，1}，所以D(x)为有理数，所以D(D(x))＝1.故选B． √ 得f(5)＝f(6)＝f(7)＝f(8)＝f(9)＝f(10)＝2×10＝20. 20 当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1，舍去； 索引 课　时　精　练 索引 A．－3 B．－1 C．1 D．3 因为f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－f(1)＝－2.当a＞0时，2a＝－2，a＝－1(舍去)；当a≤0时，a＋1＝－2，a＝－3.综上，a＝－3.故选A． 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10 m3的，按t元/m3收费；用水量超过10 m3的，超过部分按2t元/m3收费．某职工某月缴水费16t元，则该职工这个月实际用水量为 A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．(多选)若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 √ √ 通过代入点(－1，0)，(0，1)，(1，0)来验证，故选AC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 依题意知f(1)＝1－a；f(0)＝3×0＋2＝2， 1－a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (－∞，－1) 解得m＜－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (1)若f(a)＝5，求实数a的值； 当a≥0时，由f(a)＝a2＋4＝5得a＝1； 当a＜0时，由f(a)＝4－a＝5得a＝－1. 综上，a＝1或－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)画出函数的图象，并求出函数f(x)在区间[－2，2]上的值域． 函数图象如图所示． 因为f(0)＝4，f(2)＝22＋4＝8，f(－2)＝4－(－2)＝6， 所以由图象知函数f(x)在[－2，2]上的值域为[4，8]． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 A．[－1，1]　　　　　　 B．[－1，2] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 技能提升 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 A．3或－3 B．－3或5 C．－3 D．3或－3或5 若a≤0，则f(a)＝a2＋1＝10， 所以a＝－3(a＝3舍去)； 若a>0，则f(a)＝2a＝10， 所以a＝5.综上可知，a＝5或a＝－3.故选B． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 所以f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1， 所以f(f(2))＝f(－1)＝－1－2＝－3. －3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (－∞，1] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．某村电费收取有以下两种方案供农户选择： 方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取． 方案二：不收管理费，每度0.58元． (1)求方案一月收费L(x)(元)与月用电量x(度)之间的函数关系式； 当0≤x≤30时，L(x)＝2＋0.5x； 当x＞30时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 当0≤x≤30时，由L(x)＝2＋0.5x＝35，得x＝66(舍去)． 当x＞30时，由L(x)＝0.6x－1＝35，得x＝60. 所以老王家该月用电60度． (2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 设按方案二月收费为F(x)元，则F(x)＝0.58x. 当0≤x≤30时，由L(x)＜F(x)，得2＋0.5x＜0.58x，所以x＞25，所以25＜x≤30. 当x＞30时，由L(x)＜F(x)，得0.6x－1＜0.58x，所以x＜50，所以30＜x＜50. 综上，25＜x＜50. 故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度，50度)时，选择方案一比方案二更好． (3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为__________． 迁移创新 当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. {y|y≤2} 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回到家．根据这个曲线图，请你回答下列问题： (1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ 最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ 10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家多远？ 第一次休息时，离家17千米． (4)11：00到12：00他骑了多少千米？ 11：00至12：00他骑了13千米． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14 千米/时． (5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？ 从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形． 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 函 数 的 概 念 与 性 质 提示：y＝ 所以f ＝2×＝3. 又3＞2，所以f ＝f(3)＝. 　　　 已知函数f(x)＝ (1)求f(－3)，f 的值； 因为－3＜－1，所以f(－3)＝－3＋2＝－1.因为－1＜＜2， 当a≥2时，由f(a)＝2，得＝2，a＝2或a＝－2(舍去)．综上所述，a的值为1或2. 即时练1.已知函数f(x)＝则f＝ A． B． C．－ D． 由x≤0可知f ＝－＋1＝＞0，结合x＞0的解析式可知f ＝ ＋1＝.故f＝.故选A． 即时练2.已知f(x)＝则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是 当x≤0时，f(x)≥－1即x＋1≥－1，解得x∈[－4，0]；当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1，解得x∈(0，2]．综上，x∈[－4，2]．故选B． 结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ 因为f(x)＝|x|＝所以函数图象为C． 则所以 即f(x)＝ g(x)＝ y＝ 即y＝ 2．著名的狄利克雷函数D(x)＝ 则D(D(x))等于 A．0 B．1 C． D． 3．若函数f(x)＝则f(5)＝_____. 由f(x)＝ 当－1<x<2时，x2＝3得x＝或x＝－(舍去)． 4．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________． 1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 该单位职工每月应缴水费y(元)与实际用水量x(m3)满足的关系式为y＝由y＝16t，可知x＞10.令2tx－10t＝16t，解得x＝13.故选A． A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－|x|＋1 D．f(x)＝|x＋1| 4．(多选)已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是 A．f(x)的值域为[0，1] B．f(x)的定义域为R C．f(x＋1)＝f(x) D．f(x)的图象经过点 对于A，f(x)的值域为{0，1}，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，故B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f(x＋1)＝f(x)成立，故C正确；对于D，因为f ＝1，所 以f(x)的图象经过点，故D错误．故选BC． 则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，解得a＝. 5．已知函数f(x)＝则f(1)＝________，若f(f(0))＝a，则实数a＝________． 6．设函数f(x)＝若f(m)＞m，则实数m的取值范围是____________． 由题意，得或 7．已知函数f(x)＝ 8．已知函数f(x)＝则不等式xf(x－1)≤1的解集为 原不等式等价于或解得－1≤x≤1.故选A． 9．已知函数y＝若f(a)＝10，则a的值是 10．若函数f(x)＝则f(f(2))＝________． 因为f(x)＝ 11．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________． 由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象如图，可得值域为(－∞，1]． 所以L(x)＝(注：x也可不取0) 故y＝ $$