第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

章末综合提升 　 第二章　一元二次函数、方程和不等式 提素能　分层突破 单元综合评价 大概念　思维导图 内 容 索 引 大概念　思维导图 索引 索引 提素能　分层突破 索引 素养一　逻辑推理 　　逻辑推理主要表现为：掌握推理的基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程．逻辑推理在本章中主要体现在不等式的性质应用，基本不等式的证明等． 体现一　不等式的性质及应用 1．(多选)下列命题正确的有 √ √ 2．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是 √ 体现二　不等式的证明 因为a＞b＞0，所以a2＞b2. 因为d＜c＜0，所以－d＞－c＞0， 素养二　数学运算 　　数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．本章中数学运算主要体现在解不等式、求最值等． 体现三　解不等式 (1)求a的值； 整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1， 体现四　利用基本不等式求最值 36 (2)已知－1＜x＜3，则y＝(1＋x)(3－x)的最大值是_____． 4 所以(1＋x)(3－x)≤4，当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时取等号． 9 素养三　数学建模 　　数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．本章中数学建模主要体现在利用基本不等式及一元二次不等式解决实际问题． 体现五　构建一元二次不等式模型解决实际问题 {x|3≤x≤10} 又1≤x≤10，所以3≤x≤10. 体现六　构建基本不等式模型解决实际问题 8．如图，某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前墙内侧保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 即x＝40时，等号成立． 因此当矩形温室的两边长分别为40 m，20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2. 索引 单元综合评价 索引 因为方程x2－2x－3＝0的两实数根为x1＝－1，x2＝3，所以不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－1<x<3}．故选D． 1．不等式x2－2x－3<0的解集为 A．{x|x<－3或x>1} B．{x|－3<x<1} C．{x|x<－1或x>3} D．{x|－1<x<3} √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 2．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是 故ABC错误； 因为c2＋1＞0，所以a(c2＋1)>b(c2＋1)，D正确． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 3．已知－1≤a≤3，2≤b≤4，则2a－b的取值范围是 A．－6≤2a－b≤4 B．0≤2a－b≤10 C．－4≤2a－b≤2 D．－5≤2a－b≤1 因为－1≤a≤3，2≤b≤4，可得－2≤2a≤6，－4≤－b≤－2，所以－2－4≤2a－b≤6－2，即－6≤2a－b≤4.故选A． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 4．若x>y>1，则下列四个数中最小的数是 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 5．若关于x的一元二次不等式x2＋2mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是 A．m≤－1或m≥1 B．－1≤m≤1 C．m＜－1或m＞1 D．－1＜m＜1 因为不等式x2＋2mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝4m2－4≤0，解得－1≤m≤1.故选B． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b| √ 因为b＜a＜0，所以|a|＋|b|＝－a－b＝－(a＋b)＝|a＋b|，故D中的结论错误，故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 7．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为 A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 √ 设售价定为每件x元，利润为y， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 依题意有(x－8)[100－10(x－10)]＞320， 即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16， 所以每件售价应定为12元到16元之间． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 9．下列不等式中解集为R的是 A．x2＋x＋1＞0 B．x2－x＋1＞0 C．x2＋x－1＞0 D．x2－x－1＞0 只需Δ＜0即可，只有选项A，B中的满足要求．故选AB． √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 10．若正实数x，y满足x＞y，则下列结论中正确的有 A．xy＜y2　 B．x2＞y2 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 11．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是 A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 12．下列叙述中不正确的是 A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充要条件是“b2－4ac≤0” B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b” C．“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 A选项中，当a＝－1，b＝0，c＝0时，b2－4ac≤0，但ax2＋bx＋c≤0，故A中叙述错误；B选项中，当a＝1，b＝0，c＝0时，a＞b，但ac2＝bc2，故B中叙述错误；C选项中，方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根等 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 m<0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 14．(2022·浙江月考)若－1<a＋b<3，2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为__________；t的取值范围为__________． 因为－1<a＋b<3，2<a－b<4， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 由x＞0，可得x＋1＞1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 16．某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是____________．(假设每件衬衫的售价是m) 设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40＋x)元，则每天出售衬衫的净收入为(40＋x－30)(40－x)＝(－x2＋30x＋400)元，由题可知，－x2＋30x＋400≥525，整理得(x－25)(x－5)≤0，解得5≤x≤25，所以45≤40＋x≤65. 45≤m≤65 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 17．(本小题满分10分)解下列不等式： (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1； 原不等式可化为2x2－x－1≥0， 所以(2x＋1)(x－1)≥0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 故原不等式的解集为{x|x＜－2}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 18．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2－4x＋4，求函数在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)． 因为f(x)＝x2－4x＋4的图象开口向上，对称轴x＝2， 当t＋1≤2，即t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，g(t)＝f(t＋1)＝(t－1)2；当t≥2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，g(t)＝f(t)＝(t－2)2； 当t<2<t＋1，即1<t<2时，f(x)在[t，t＋1]上先减后增，g(t)＝f(2)＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (1)求ab的最小值； 所以ab的最小值是8. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)求a＋b的最小值． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)． (1)若不等式的解集是{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值； 因为不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两个根且k＜0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)若不等式的解集是R，求k的取值范围． 因为不等式的解集为R， 若k＝0，则－2x<0，即x>0，不符合题意， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 21．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元． (1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式； 由题意可设价值与重量的关系式为y＝kx2， 因为3克拉的钻石的价值是54 000美元， 所以54 000＝k·32，解得k＝6 000， 所以y＝6 000x2， 所以此钻石的价值与重量的关系式为y＝6 000x2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大． 若两颗钻石的重量分别为m，n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2， 现有价值是6 000m2＋6 000n2，价值损失的百分率： 当且仅当m＝n时，等号成立． 所以当m＝n时，价值损失的百分率最大． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 22．(本小题满分12分)已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1(t∈R)． (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0； 因为二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点， 所以方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2， 所以x1＋x2＝0. 由根与系数的关系可得，x1＋x2＝2t＝0，解得t＝0. 因为x2－2tx＋t2－1≥0， 所以x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1. 所以该不等式的解集为{x|x≥1或x≤－1}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围． 因为Δ＝(－2t)2－4(t2－1)＝4t2－4t2＋4＝4>0， 所以∀t∈R，该方程总有两个不相等的实数根． 因为方程的两个实数根均大于－2且小于4， 所以实数t的取值范围是{t|－1<t<3}． 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 A．若a＞1，则＜1 B．若a＋c＞b，则＜ C．对任意实数a，都有a2≥a D．若ac2＞bc2，则a＞b 因为a＞1，所以＜1，所以A正确；若a＋c＞b，可令a＝1，c＝1，b＝ －1，则有＞，故B错误；对于C，可取a＝，则a2＜a，故C错误；因为ac2 ＞bc2，所以c2＞0，所以a＞b，故D正确．故选AD． A．＜b　　　　　　 B．a2＞b2 C．＞ D．a|c|＞b|c| 取a＝1，b＝－1，排除选项A，B；取c＝0，排除选项D；显然＞0，所以>成立．故选C． 3．已知a>b>0，d<c<0，求证：<. 所以＞＞0，所以＞，即＜＜0， 所以＜成立． 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 4.已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 因为a，b，c＞0，所以利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，所以＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c， 故＋＋≥a＋b＋c， 由根与系数的关系，得解得a＝－2. 5．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是. 依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a<0. 整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1， (2)求不等式>a＋5的解集． 将a＝－2代入不等式，得>3，即－3>0， 因为－1＜x＜3，所以1＋x＞0，3－x＞0，所以≤＝2. 6．(1)已知函数y＝9x＋(x＞0，a＞0)在x＝2时取得最小值，则a＝______． 因为x＞0，a＞0，所以y＝9x＋≥2＝6，当且仅当9x＝，即9x2＝a时，y取得最小值，又因为x＝2，所以a＝9x2＝9×22＝36. 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． (3)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则＋的最小值为____． 因为正数a，b满足a＋2b＝1，所以＋＝(a＋2b)＝1＋＋＋4 ≥5＋2＝9， 即5x2－14x－3≥0，解得x≥3或x≤－， 7．某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，则x的取值范围为_______________． 根据题意，有100≥1 500， 设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为 m，因此种植蔬菜的区域 一边长为(x－4)m，另一边长为m. 由得4＜x＜400，所以其面积S＝(x－4)·＝808－≤808－2＝808－160＝648，当且仅当2x＝， A．a2＞b2 B．＜ C．≥ D．a(c2＋1)>b(c2＋1) 当a＝1，b＝－2时，1＞－2，而12＜(－2)2＝4，＞，而无意义， 所以四个数中最小的数是.故选D． A． B． C． D． 因为x>y>1，所以>＝1，＝>＝1，>1， <＝1， 6．若＜＜0，则下列结论不正确的是 因为＜＜0，所以b＜a＜0，所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以A，B，C中的结论均正确． 8．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是 A．2 B．2 C．4 D．5 因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立．故选C． C．＞1 D．＜ 因为x，y为正实数且x＞y，所以xy＞y2，故A错；因为x，y为正实数且 x＞y，所以x－y＞0，x＋y＞0，所以(x－y)(x＋y)＝x2－y2＞0，即x2＞y2，故B正确；因为x，y为正实数且x＞y，所以·x＞·y，即＞1，故C正确；因为x，y为正实数且x＞y，所以x＞x－y＞0，所以＞，即＜，故D正确．故选BCD． C．(a＋b)≥4 D．≥4 设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时取等号，故D成立．故选ACD． D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 价于，解得a＜0，所以“a＜0”是“方程x2＋x＋a＝0有一 个正根和一个负根”的充要条件，故C中叙述错误；D选项中，因为a＞ 1⇒＜1，所以充分性成立,因为＜1⇒a＜0或a＞1，所以必要性不成立，故D中叙述正确．故选ABC． 13．关于x的不等式＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________． 由＞0，得(mx－2)(x－3)＞0，故不等式(mx－2)(x－3)>0的解集为，所以即m＜0，所以m的取值范围是m＜0. 所以1<2a<7，即<a<， 又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)， 所以－＋<(a＋b)＋(a－b)<＋2， 即t∈. 2－1 15．设x＞0，则的最小值为________． 令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥ 2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立． 故原不等式的解集为. 所以＞0，所以＞0，则x＜－2. (2)＞1. 原不等式可化为－1＞0， 故g(t)＝ 所以＋≥2＝2，则2≤1，即ab≥8，当且仅当即时取等号， 19．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0且＋＝1. 因为a＞0，b＞0且＋＝1， 当且仅当即时取等号，所以a＋b的最小值是3＋2. 因为a＞0，b＞0且＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 由根与系数的关系得解得k＝－. 所以k＜－. 所以 即 (注：价值损失的百分率＝×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计) ×100%＝×100%≤＝， 所以解得－1<t<3. $$