第二章 习题课(一) 不等式恒成立、能成立问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

习题课(一)　不等式恒成立、能成立问题 　 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习目标 会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题． 随 堂 演 练 综 合 应 用 课 时 精 练 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 应用一　在R上的恒成立问题 　　　已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意． 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立， 所以其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． 例1 　　恒成立问题可转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 方法技巧 　　[提醒]　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 方法技巧 即时练1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是 √ 应用二　在给定范围内的恒成立问题 　　　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 令y＝x2＋mx＋4， 因为y<0在1≤x≤2上恒成立， 所以y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 所以实数m的取值范围是{m|m<－5}． 例2 在给定范围内的恒成立问题 1．当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. 2．当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 方法技巧 即时练2.命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.故选B． √ 　　　当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为____________． 记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5. {m|m>－5} 例3 应用三　解决简单的能成立问题 1．结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． 2．对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． 方法技巧 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， 所以4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， 所以m≥2x2－8x＋6能成立， 又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，所以m≥－2， 所以实数m的取值范围为{m|m≥－2}． 索引 索引 1．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是 A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，所以实数m的取值范围是－2≤m≤2.故选D． √ A．m≥2 B．0<m≤2 C．0≤m≤2 D．0≤m≤4 √ 3．已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是 A．a≥1 B．a>1 C．a≤1 D．a<1 因为1≤x≤2，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.故选D． √ －4<a≤0 5．(2023·山东潍坊高一检测)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a. (1)若f(x)≥0的解集为R，求实数a的取值范围； 因为f(x)≥0的解集为R， 所以Δ＝(2a)2－4a≤0， 可得a(a－1)≤0， 解得0≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{x|0≤a≤1}． (2)当a≠－3时，解关于x的不等式f(x)>4a－(a＋3)x. 由不等式f(x)>4a－(a＋3)x等价于x2＋(3－a)x－3a>0， 可得(x＋3)(x－a)>0， 当a>－3时，解得x<－3或x>a； 当a<－3时，解得x<a或x>－3. 综上，当a>－3时，不等式的解集为{x|x<－3或x>a}； 当a<－3时，不等式的解集为{x|x<a或x>－3}． 索引 课　时　精　练 索引 1．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是 A．{a|－4≤a≤4} B．{a|－4<a<4} C．{a|a≤－4或a≥4} D．{a|a<－4或a>4} 由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.故选A． 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是 A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2<m<2} 因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故选A． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是 A．a<1 B．a≤1 C．a<2 D．a<0 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 m的取值范围是 A．{m|－1<m<4} B．{m|m<0或m>3} C．{m|－4<m<1} D．{m|m<－1或m>4} √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5．若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解，则实数m的取值范围是____________． x2＋(m－3)x＋m<0无解，则Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9. 1≤m≤9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是____________． {k|－3<k≤1} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7．∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8．设p：∀x∈R，x2－mx＋1>0，q：－2≤m≤2，则p是q成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 因为∀x∈R，x2－mx＋1>0，所以Δ＝m2－4<0，所以－2<m<2，所以p： －2<m<2.由集合间的关系可知，p是q成立的充分不必要条件．故选A． 技能提升 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9．对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是 A．a<－3 B．a<－4 C．a<0 D．a>0 因为x2－2x＋a<0，所以a<－x2＋2x，又因为－1≤x≤2，－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3，所以a<－3，又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”，所以C正确． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10．若不等式(a－3)x2＋2(a－2)x－4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是_______________． 当a－3＝0，即a＝3时，不等式化为2x－4＜0，解得x＜2，不满足题意； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11．若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为_______________. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(1，－2)，B(－1，0)， (1)求二次函数与反比例函数的表达式； 所以y＝x2－x－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 由(1)知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2， 故有x2－x－2≥mx－3在R上恒成立， 即x2－(m＋1)x＋1≥0在R上恒成立，所以Δ≤0， 又Δ＝[－(m＋1)]2－4＝m2＋2m－3， 所以m2＋2m－3≤0，解得－3≤m≤1. (2)若对∀x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是____________． 迁移创新 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)·m－6<0. 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 所以解得－1<k<0. ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ A． B． C． D． 当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0.综上，实数k的取值范围是.故选D． 如图，可得解得m<－5， 即时练3.若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 2．对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是 令y＝，当m＝0时，函数y＝，符合题意；当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，则即解得0<m≤2.综上，实数m的取值范围是0≤m≤2.故选C． 4．定义运算＝ad－bc，则不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________. 原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，当a＝0时，不等式为－1<0，符合题意；当a≠0时，有⇒－4<a<0.综上所述，a的取值范围是－4<a≤0. 因为ax2－2x＋1<0的解集非空，显然a≤0时恒成立，又由解得0<a<1，综上，ax2－2x＋1<0的解集非空的充要条件为a<1.故选BC． 4．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数 因为正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4.由x＋<m2－3m有解，可得m2－3m>4，解得m>4或m<－1.故选D． 当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时，由题意得 解得－3<k<1，因此实数k的取值范围为{k|－3<k≤1}． 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝－≤6， 解得 所以－2＜a＜2. －2<a<2 当a≠3时，需满足 令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)·a－2x－2，是关于a的函数，由题意得(x2＋x)－2x－2＞0或(x2＋x)·3－2x－2＞0.即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2 ＞0②. 解①可得x＜－1或x＞2，解②可得x＜－1或x>，则实数x的取值 范围为. 解得k＝12，从而反比例函数为y＝. 又因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A，B，M， 所以解得 且与反比例函数y＝交于点M(3，4)， 因为点M(3，4)在反比例函数y＝的图象上，故有4＝， 当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立；若a＝－1，不等式为2x－1≤0，解得x≤，不符合题意；当a2－1≠0时，若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0，解得－≤a<1.综上可得－≤a≤1. 所以实数x的取值范围为. 因为1≤m≤3，所以x2－x＋1<恒成立， 所以x2－x＋1<即x2－x－1<0，解得<x<. $$