2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　二次函数与一元二次方程、 不等式的应用 　 第 二 章 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.熟练掌握分式不等式的解法．　 2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系．　 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题． 随 堂 演 练 综 合 应 用 课 时 精 练 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 应用一　解分式不等式 解不等式组得－1≤x＜3. 故原不等式的解集为{x|－1≤x＜3}． 例1 解不等式得x＜－1或x＞3. 故原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}． 简单分式不等式的解法 1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 方法技巧 A．{x|x＜－1或－1＜x≤2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x＜－1或x≥2} D．{x|－1＜x≤2} √ 因此结合不等式解集知a＝5. 5 应用二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 　　　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 例2 1.(变设问)若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 变式探究 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是 求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 又因为a<0，所以2x2＋5x－3<0， 　　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 1．根据解集来判断二次项系数的符号． 2．根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． 3．约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 方法技巧 因为x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，所以方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2. 即时练3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 应用三　一元二次不等式的实际应用 　　　某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量 产品生产并售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为产量的函数； 例3 (2)产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱)． 要使企业不亏本，则y≥0. 即年产量在11台到4 800台之间时，企业不亏本． 解不等式应用题的步骤 方法技巧 即时练4.某单位在对一个长800 m、宽600 m的区域进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示， 若要保证草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定 花坛宽度的取值范围． 设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x＞0，所以0＜x≤100.故当x在{x|0<x≤100}之间取值时，草坪的面积不小于总面积的二分之一． 索引 索引 A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x<0或x≥1} √ A．5 B．－5 C．6 D．－6 √ 3．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，那么不等式cx2－ax＋b>0的解集为 √ 由题意得x＝－1，x＝4是方程ax2－3x－b＝0的两个根， 5．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为____________________． z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，所以解集为{t|10≤t≤15，t∈N}． 索引 {t|10≤t≤15，t∈N} 课　时　精　练 索引 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 是 A．m＜0 B．m＞0 C．m≠0 D．不确定 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．某服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝500＋30x元，为使月获利不少于8 600元，则月产量x需满足 A．55≤x≤60 B．60≤x≤65 C．65≤x≤70 D．70≤x≤75 由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70.故选C． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－1<x<2}，则下列选项正确的是 A．b<0且c>0 B．a－b＋c>0 C．a＋b＋c>0 D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1} √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 对于A，依题意知a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1 确；对于B，由题意可知当x＝1时不等式成立，a－b＋c>0，所以B正确；对于C，当x＝－1时ax2－bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，由题得ax2＋bx＋c＞0可化为ax2＋ax－2a>0，因为a<0，所以x2＋x－2<0，所以－2<x<1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，所以D正确．故选ABD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5．写出一个一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件____________________． 因为ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正实数根和一个负实数根，设为x1，x2，所以Δ＝4－4a>0，x1x2＜0，即a＜0，故只需写出一个比a＜0范围小的范围即可． a＜－1(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (1)求a，c的值； 解得a＝－6，c＝－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 技能提升 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10．已知定义在R上的运算“⊗”：x⊗y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a)⊗(x＋a)＞0，当a＝2时，不等式的解集为________________． 当a＝2时，不等式(x－a) ⊗(x＋a)＞0即为(x－2)(1－x－2)＞0，即(x－2)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜2. {x|－1＜x＜2} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为______． 由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，所以3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； 由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．已知a∈Z关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是 A．13 B．18 C．21 D．26 迁移创新 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14．某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距 400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系． 因为AB＝400，∠BAx＝30°， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 整理得16x2－160x＋375≤0， 解这个不等式得3.75≤x≤6.25， A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)． 故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h. 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 等价于 　　　 解下列不等式：(1)≥0； 不等式≥0 即＞0，整理得＞0. 即 (2)＞4. 不等式＞4等价于－4＞0， 即时练1.不等式≤0的解集是 不等式等价于所以－1＜x≤2.故选D． 即时练2.不等式≥0的解集是{x|－1≤x＜5}，则a的值为____． 由于原不等式等价于 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.故＝－， 又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0. 解得－<x<－， 故原不等式的解集为. 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0. 所以c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0， ”． 法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0，且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以×2＝<0，－＋2＝－.所以b＝－a，c＝－a，所以不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0. 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－，－＝＝＝－，所以x1＝－3，x2＝.所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 故所求不等式的解集为. 法二：由已知得a<0 且＋2＝－，×2＝知c>0， 所以bx2＋ax＋1>0的解集为. 由根与系数的关系得解得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0, 解得x<或x>1. 当x>5时，y＝5×5－×52－0.25x－0.5＝12－x， 故y＝ 为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为R＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是 设利润为y万元，当0≤x≤5时，y＝5x－x2－0.25x－0.5， 即或解得0.11≤x≤5或5<x≤48， 即0.11≤x≤48. 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋ 60 000≥0， 1．不等式≥0的解集为 原不等式可化为解得故其解集为{x|0<x≤1}，故选B． 解得所以a＋b＝－5.故选B． 2．若不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则a＋b的值为 不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，即方程ax2＋bx＋1＝0的解为－1，.由方程的根与系数的关系可得 A． B． C． D． 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，且－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，所以－2＋1＝－，－2×1＝，即c＝－2a，b＝a，所以不等式cx2－ax＋b>0可化为－2ax2－ax＋a>0，因为a<0，所以2x2＋x－1>0，即(2x－1)(x＋1)>0，解得x>或x<－1.故选D． 所以⇒a＝1，b＝4，所以＋＝1＋＝. 4．(2023·河北邯郸高一质检)若不等式ax2－3x－b<0的解集为{x|－1<x<4}，则＋＝________． 1．不等式＞0的解集是 A．　　　 B．{x|x＞4} C．{x|x＜－3或x＞4} D． 由＞0，得(2x－1)(x＋3)＞0，解得x＜－3或x＞，所以＞0的解集是.故选D． 2．关于x的不等式＜0的解集为M，若0∈M，则实数m的取值范围 因为0∈M，所以代入不等式＜0得：－m＜0，即m＞0.故选B． ＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a, 所以b<0，c>0,所以A正 由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a<0，故解得所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，解得<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集为. 6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为______________． 由根与系数的关系，得 7．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. 由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以所求不等式的解集为. 8．如果关于x的不等式＞0的解集是{x|－1＜x＜3}，则不等式＜0的解集是 A． B． C． D． 因为＞0等价于(ax－1)(x＋b)＞0，而(ax－1)(x＋b)＝0的两根为，－b，因为不等式解集为{x|－1＜x＜3}，故可得a＜0，且＝－1，－b＝3，则a＝－1，b＝－3，则＜0即＜0，等价于(2x＋3)(2x－1)＞0，故所求不等式的解集为.故选B． 9．若a>0，b>0，则不等式－b<<a的解集为 A． B． C． D． 原不等式可化为即可得故不等式的解集为.故选A． 1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20. 所以投入成本增加的比例x应在0<x<的范围内． 必须有 即解得0<x<， 设y＝x2－6x＋a，如图，其图象为开口向上，对称轴为x＝3的抛物线， 根据题意可得Δ＝36－4a＞0，解得a＜9，因为y≤0的解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得解得5＜a≤8，又a∈Z，所以a＝6，7，8，所以符合题意的a的值之和6＋7＋8＝21.故选C． 所以台风中心B的坐标为(200，－200)，x h后台风 中心B到达点P(200，40x－200)处． 由已知，A市受台风影响时，有AP≤350， 即(200)2＋(40x－200)2≤3502， $$