2.3 第1课时 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　一元二次不等式及其解法 　 第 二 章 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系．　 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．　 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 课 时 精 练 知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　一元二次不等式的概念 内 容 索 引 知识点一　一元二次不等式的概念 索引 给出下面四个不等式： (1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0； (3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5<0. 这四个不等式，共同点是什么？ 提示：都含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 问题导思 新知形成 定义 只含有一个________，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 微提醒 未知数 2 　　　下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0； ②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 由一元二次不等式的定义知，符合要求的有②、④. 例1 ②④ 即时练1.(多选)下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是 √ √ 索引 知识点二　二次函数与一元二次 方程、不等式之间的关系 索引 下表是二次函数y＝x2－x－6的一些对应值表，抛物线是其图象． 问题导思 x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 根据图表，你能说出一元二次方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出使一元二次不等式x2－x－6>0与x2－x－6≤0的解集吗？ 提示：x1＝－2或x2＝3；{x|x<－2或x>3}，{x|－2≤x≤3}． 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 新知形成 {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　 (链接教材P52例1，例2，例3)求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3<0； 例2 (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0； 原不等式可化为x2－6x＋10<0， 因为Δ＝－4<0， 所以方程x2－6x＋10＝0无实根， 所以原不等式的解集为∅. (4)－x2＋6x－10>0. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； 第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式； 第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； 第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象； 第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集． 方法技巧 即时练2.求下列不等式的解集： (1)x2＋x<0； 不等式x2＋x<0可化为x(x＋1)<0， 解得－1<x<0， 所以不等式的解集为{x|－1<x<0}． (2)4x2－4x＋1>0； (3)x2－3x＋2>0. 不等式x2－3x＋2>0可化为(x－1)(x－2)>0， 解得x<1或x>2. 所以不等式的解集为{x|x<1或x>2}． 索引 综　合　应　用 索引 含参数的一元二次不等式的解法 　　　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.(a<1) ①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1. 例3 解含参数的一元二次不等式的步骤 方法技巧 　　[提醒]　求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则： 当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}． 即时练3.解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0. 索引 索引 1．下列不等式①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.其中是一元二次不等式的有 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．故选D． √ 2．不等式3x2－2x＋1>0的解集为 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.故选D． √ 3．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为 √ 4．不等式6－x－2x2<0的解集是________________． 索引 课　时　精　练 索引 A．{x|x>0或x<－1} B．{x|x≥0或x≤－1} C．{x|－1<x<0} D．{x|－1≤x≤0} 分析知应使－x2－x>0，即x2＋x<0，所以－1<x<0.故选C． 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．关于x的不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为 A．{x|x<2a或x>－3a} B．{x|2a<x<－3a} C．{x|x<3a或x>2a} D．{x|3a<x<－2a} 不等式x2－ax－6a2<0可化为(x－3a)(x＋2a)<0.因为a<0，所以3a<x<－2a，故选D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．(多选)下列不等式中解集是R的是 A．－x2＋x－1<0 B．4x2＋4x＋1≥0 C．x2－5x＋6>0 D．(a2＋1)x2＋ax－1>0 －x2＋x－1<0⇔x2－x＋1>0，Δ＝1－4<0， 所以A中不等式的解集为R；4x2＋4x＋1≥0⇔(2x＋1)2≥0⇔x∈R，B中不等式的解集为R；不等式x2－5x＋6>0中Δ＝25－4×6＝1>0，所以C中不等式的解集不是R；不等式(a2＋1)x2＋ax－1>0中Δ＝a2－4(a2＋1)×(－1)＝5a2＋4>0， 所以D中不等式的解集不是R.故选AB． √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4．(多选)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2且x1<x2，则 A．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1<x<x2} B．当a>0时，不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x<x1或x>x2} C．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1>0 D．若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则x2>0 √ √ 当a>0时，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，所以不等式ax2＋2x＋1<0的解集为{x|x1<x<x2}，故A正确，B错误；若不等式ax2＋2x＋1>0的解集为{x|x1<x<x2}，则a<0，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向下．又函数y＝ax2＋2x＋1的图象过定点(0，1)，则x1<0，x2>0.故C错误，D正确．故选AD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是________________． {x|x<5a或x>－a} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7．求下列不等式的解集： (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； 由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. 所以原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)0≤x2－2x－3<5. 由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；由x2－2x－3<5得－2<x<4. 所以－2<x≤－1或3≤x<4.所以原不等式的解集为{x|－2<x≤－1或3≤x<4}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是 A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} 技能提升 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为 A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}.故选B． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 {m|m<0} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．已知函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2. (1)当a＝2时，解关于x的不等式y≤0； 当a＝2时，y≤0，即2x2－5x＋2≤0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)若a>0，解关于x的不等式y≤0. 不等式y≤0即ax2－(2a＋1)x＋2≤0， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为__________． 迁移创新 设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}， 所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14．解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 A．x2＋<－1 B．x2＋mx－1>0 C．x2＋＋1<0 D．x2<0 由于x2＋<－1和x2＋＋1<0不满足一元二次不等式的定义，故A，C错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确．故选BD． Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _______________________ ____ ax2＋bx＋c <0(a>0)的解集 __________________ ____ ____ 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. 由图可得原不等式的解集为. 因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为. 易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图所示． ③当0<a<1时，即>1，解得1<x<. 综上可知，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为. ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1. A． B． C．∅ D．R A． B． C． D．R 3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－.故选C． 5．若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为___________． 因为0<m<1，所以>1>m，故原不等式的解集为. 不等式可变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝ －2，所以不等式的解集为. 1．使式子有意义的实数x的取值范围是 5．(2023·河北沧州高一质量监测)若t>1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是 A． B． C． D． 因为t>1，所以0<<1，即<t，所以(t－x)>0⇒(x－t)<0，解得<x<t，故选A． 方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以 －a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}． 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为. B．当a>0时，不等式的解集为 C．当a＝－时，不等式的解集为R D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2<x<4} 不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确；当a>0时，不等式的解集为，故B正确；当a＝－时，不等式为x2－4x＋8<0，Δ＝(－4)2－4××8＝0，不等式的解集为空集，故C错误；当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8<0，不等式的解集为{x|2<x<4}，故D正确．故选ABD． 因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)·>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为. 10．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)· <0的解集为________________． 11．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________． 由题意知m<0，因为不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，所以方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，所以m的取值范围是{m|m<0}． 可得(2x－1)(x－2)≤0，所以≤x≤2，所以y≤0的解集为. ②当a＝时，有＝2，解得x＝2； ③当a>时，有<2，解得≤x≤2. 综上，当0<a<时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为{x|x＝2}；当a>时，不等式的解集为. 可化为a(x－2)≤0. ①当0<a<时，有>2，解得2≤x≤； －1<a≤ 综上，a的取值范围为－1<a≤. 若A≠∅，则 即所以2≤a≤. 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}， 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－<a<时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当a>或a<－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}． 综上所述，当－<a<时，原不等式的解集为∅； 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}； $$