2.2 第2课时 基本不等式的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　基本不等式的综合应用 　 第 二 章 2.2　基本不等式 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用．　 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．　 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题． 随 堂 演 练 综 合 应 用 课 时 精 练 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 应用一　应用基本不等式证明不等式 例1 (2)已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz. 所以(x＋y)(y＋x)(z＋x)≥8xyz. 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 1．策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 2．注意事项 (1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用． 方法技巧 即时练1.设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，当且仅当a＝b＝c时，等号同时成立，三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 因为a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1， 应用二　基本不等式的实际应用 　　　(链接教材P46例3)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 法一：由题意可知xy＝16， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 例2 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. (变条件、变设问)如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 可得xy≤9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立． 因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 变式探究 利用基本不等式解决实际问题的步骤 第一步：理解题意．设变量，并理解变量的实际意义； 第二步：构造定值．利用基本不等式求最值； 第三步：检验．检验等号成立的条件是否满足题意； 第四步：得出结论． 方法技巧 即时练3.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价． 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元， 由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m， 所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，由基本不 当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 故该容器的最低总造价为160元． 应用三　基本不等式在几何中的应用 　　　如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它 沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； 矩形ABCD(AB>BC)的周长为24， 因为AB>BC＝AD，得x>12－x，所以6<x<12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′， 所以AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12 例3 (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值． 　　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 方法技巧 即时练4.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝________时，矩形花坛AMPN的面积最小． 4米 索引 索引 1．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为 A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 √ 2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是 A．采用第一种方案合适 B．采用第二种方案合适 C．两种方案一样 D．无法确定 √ √ 3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为________． 400 5．(2023·湖南衡阳高一质检) 右图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋 等节日．灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令 轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上， 图象便不断走动．因剪纸图象为古代武将骑马的图画，在转 动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯．现打算 做一个体积为96 000 cm3的如图长方体状的走马灯(题中不考 虑木料的厚薄粗细)． (1)若底面大矩形的周长为160 cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？ 设底面矩形的长为x cm，宽为y cm，面积为S cm2， 因为底面矩形的周长为160 cm，所以2(x＋y)＝160，所以x＋y＝80， (2)若灯笼高为40 cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面 边长为多少时，框架用料最少？ 设底面矩形的长为x cm，宽为y cm， 因为长方体的体积为96 000 cm3，高为40 cm， 所以40xy＝96 000，所以xy＝2 400， 因为要使框架用料最小，所以只需底面周长最小， 索引 课　时　精　练 索引 1．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的 A．最小长度为8 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4．(多选)某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是 A．车辆运营年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 32 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空 白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是______dm2. 56 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 技能提升 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 9．无字证明是指只用图象而无需文字解释就有不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理．现有如图所示图形，在等腰Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站_____km处． 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形 半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为________． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米)． (1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买 10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是 A．大于10 g B．大于等于10 g C．小于10 g D．小于等于10 g 迁移创新 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14．(2023·河北沧州高一质量监测)2022年是不平凡的一年，由于受疫情的影响，各行各业都受到很大冲击，为了减少疫情带来的损失，某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(10－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格． (1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润． 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以等号不能取得， 故a＋b＋c>＋＋. 　　　(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋； 因为a>0，b>0，c>0,所以a＋b≥2>0,b＋c≥2>0,c＋a≥2>0， 因为x，y，z都是正数，所以x＋y≥2，y＋z≥2，x＋z≥2， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 即时练2.已知a>b，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 所以－1＝＝≥， 由≥ ，可知x＋y≥2＝8， 法二：由题意可知xy＝16，故y＝， 所以2(x＋y)＝2≥2×2 ＝16， 由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy，由≤＝＝3， 等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20×2＋80＝160(元)， －x)2＋DP2＝(x－DP)2，所以DP＝12－(6<x<12)． 因为AB＝x，所以AD＝－x＝12－x， 因为6<x<12，所以6x＋≥2 ＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立． 所以S△ADP＝108－≤108－72，所以当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72. 在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6<x<12)． 设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM得＝，解得ND＝，所以矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)＝24＋3x＋≥24＋2 ＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立．所以当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小． 设矩形模型的长和宽分别为x，y，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4，当且仅当x＝ y＝2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.故选C． 假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.所以无论油价如何变化，第二种方案都更合适．故选B． A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，因为(1＋a)(1＋b)≤，所以1＋x≤＝1＋，所以x≤，当且仅当a＝b时取等号．故选B． 由题意设矩形花园的长为x(x>0)，宽为y(y>0)，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以＝，又因为AG＝BC＝40， 所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 所以S＝xy≤＝＝1 600(当且仅当x＝y＝40时等号成立)，所以底面边长为40 cm时，底面面积最大． 所以2(x＋y)≥2·2＝4＝80(当且仅当x＝y＝20时，等号成立)， 所以底面边长为20 cm时，框架用料最少． 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)，当且仅当a＝b＝2时等号成立．故C既够用，浪费也最少．故选C． 设BC＝a，CD＝b，因为矩形的面积为4，所以ab＝4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋≥2 ＝4，当且仅当2a＝，即a＝时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4.故选B． B．最小长度为4 C．最大长度为8 D．最大长度为4 A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 设甲、乙两地之间的距离为s.因为a<b，所以v＝＝<＝.又v－a＝－a＝＝>0，所以v>a，所以a<v<，故选AD． 由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误．故选BC． 由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2 ＝56(dm2)，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立．即四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 因为a，b，c为正数， 所以＋≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)； ＋≥2(当且仅当a＝c时，等号成立)； ＋≥2(当且仅当b＝c时，等号成立)． 7．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3. 从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)． 所以＋＋－3≥3，即＋＋≥3. 8．设x>0，y>0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是 A． B． C．2 D．2 由≥，得＋≤2＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以a≥.故选B． A．≥(a＞0，b＞0) B．≤(a＞0，b＞0) C．≤ (a＞0，b＞0) D．a2＋b2≥2(a＞0，b＞0) 由题意知，AB＝AD＋BD＝a＋b，CO＝(a＋b)， OD＝OB－DB＝(a＋b)－b＝(a－b)， 在Rt△OCD中，CD2＝OC2＋OD2＝＋＝，因为OC≤CD，所以≤ (当且仅当a＝b时等号成立)．故选C． 设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2， 由题意可设y1＝，y2＝k2x，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，所以y1＝，y2＝0.8x，则两项费用之和为y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2×4＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．所以当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小． 3 的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一 由题意知，p＝7，S＝＝≤· ＝3，当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，因此三角形面积的最大值为3. 所以S＝(x－2)＝102－－x. 因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20， 所以S＝102－－x，5≤x≤20. 因为AB＝x，所以AD＝， EF＝x－2，FG＝－1， 即当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为(102－20)平方米． S＝102－－x≤102－2 ＝102－20，当且仅当x＝10时，等号成立，经验证，符合题意， 由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，所以x＝， y＝，所以x＋y＝＋＝5≥5×2 ＝10，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，但a≠b，故等号不成立，即x＋y>10，因此，顾客购得的黄金大于10 g．故选A． 当x＝80时，y＝80－－20＝55(元)， 此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，总利润为2×55＝110(万元)． 因为所以0<x<100， y＝x－＝x－－20(0<x<100)， 当且仅当＝100－x，即x＝90时，等号成立． 即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，为60元. y＝x－－20，因为0<x<100，所以100－x>0， 所以y＝－＋80≤－2 ＋80＝60， $$