2.2 第1课时 基本不等式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　基本不等式 　 第 二 章 2.2　基本不等式 学习目标 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　基本不等式 内 容 索 引 知识点　基本不等式 索引 请回答以下问题： 问题导思 2．你得到的不等式中的a>0，b>0是否可以去掉？不等式中的“＝”成立的条件是什么？ 提示：不能；“＝”成立的条件是a＝b. 1．基本不等式 (1)公式：①条件：a>0，b>0；②结论：___________； ③等号成立：当且仅当a＝b时． 新知形成 不小于 基本不等式的常见变形 微提醒 2．基本不等式与最值 已知x，y都为正数，则 简记为：积定和最小，和定积最大． 利用基本不等式求最值的三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 微提醒 例1 变式探究 利用基本不等式求最值时的注意点 1．各项均为正． 2．寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时，应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)． 3．考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，此三点缺一不可． 方法技巧 即时练1.(多选)下面四个推导过程正确的有 √ √ 即时练2.求下列式子的最值： 因为0<x<3，所以x>0，3－x>0， 所以y的最大值为－12. A．有最大值－9 B．有最小值9 C．有最大值－6 D．有最小值6 √ 即时练4.已知x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A．80 B．77 C．81 D．82 √ 索引 综　合　应　用 索引 应用一　配凑法求最值 因为x>3，所以2x－6>0， 例2 配凑法的应用技巧 　　为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 方法技巧 应用二　拆裂项求最值 例3 裂项与拆项的应用技巧 　　裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值． 方法技巧 应用三　常数代换法求最值 所以当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 例4 常数代换法的应用技巧 　　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 方法技巧 －2 即时练6.若0<x<4，则y＝x(8－2x)的最大值为____． 8 9 索引 索引 1．(多选)下列不等式一定成立的是 √ √ 2．已知0<x<1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为 √ √ 因为x>1，所以x－1>0， 3 索引 课　时　精　练 索引 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．(多选)下列命题中正确的是 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 因为m，n>0，且m＋n＝16， 32 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为 A．16 B．25 C．9 D．36 技能提升 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10．若a>0，b>0且2ab＝2a＋b＋3，则2a＋b的最小值为_____． 6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； 由2x＋8y－xy＝0， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)x＋y的最小值． 由2x＋8y－xy＝0， 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有 A．(1，4) B．(6，8) 迁移创新 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 1.理解基本不等式≤(a>0，b>0)． 1．在a>0，b>0的条件下，把a2＋b2≥2ab中a，b分别由，代换，可得到一个什么样的不等式？ 提示：可得a＋b≥2，即≤. (2)语言表述：两个正数的算术平均数________它们的几何平均数. ≤ (1)a＋b≥2；(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b 时等号成立)． (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 因为x>0，所以x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. 　　　 (链接教材P45例1)已知x>0，求x＋的最小值． 因为x<0，则－x>0， 故有－x＋≥2 ＝4， 所以－≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立． 故原式的最大值为－4. 1.(变条件、变设问)当x<0时，求x＋的最大值． x＋＝－， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．因此所求的最小值为5. 2．(变条件、变设问)当x>1时，求x＋的最小值． 因为x>1，故有x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2 ＋1＝5， A．若a，b为正实数，则＋≥2 ＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2 ＝－2 D．若a<0，b<0，则＜ab A中，因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误；C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－， －均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误．故选AC． 所以y＝x(6－2x)(0<x<3)有最大值. (1)y＝x(6－2x)(0<x<3)； 所以y＝x(6－2x)＝x(3－x)≤＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时取等号． 当且仅当－3x＝，即x＝－2时，等号成立． (2)y＝3x＋(x<0)． 因为x<0，所以－x>0.则－y＝＋(－3x)≥2＝12，即y≤ －12. 即时练3.若x>0，则函数y＝x＋ y＝x＋≥2 ＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，函数y＝x＋取得最小值6. 因为x>0，y>0，x＋y＝18，所以x＋y≥2，所以xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，所以xy有最大值81. 所以y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号． 所以y＝2x＋的最小值是10. 　　　(1)已知x>3，求y＝2x＋的最小值； 所以y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立． 故当x＝时，ymax＝. (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值． 因为0<x<，所以1－2x>0， 因为x>1，所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立，所以当x＝2时，y取得最小值为4. 　　　 若x>1，求函数y＝的最小值． 因为＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋. 因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6， 当且仅当＝，即y＝3x时，取等号． 因为＋＝1， 　　　已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2. 因为0<x<4，所以8－2x>0，所以y＝x(8－2x)＝·2x(8－2x)≤·＝8，当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号． 所以y＝x(8－2x)的最大值为8. 即时练5.已知t>0，则y＝的最小值为_____． 即时练7.若a，b都是正数，则的最小值为____． 因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号． A．x2＋>x(x>0) B．x＋≥2(x>0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．>1(x∈R) A中，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；B中，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以B一定成立；C中，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；D中，因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以D不成立．故选BC． A． B． C． D． 因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B． 3．若x>0，y>0，则2x＋＋y＋的最小值是 A．3 B．4 C．4 D．2 2x＋＋y＋≥2＋2＝2＋＝3，当且仅当2x＝，y＝，即x＝，y＝时等号成立．故选A． 当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取得最小值3. 4．函数f(x)＝x＋(x>1)的最小值为_____． 由基本不等式可得f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3， 1．3x2＋的最小值是 A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D． A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 因为0<a<b，所以2b>a＋b，所以b>>.因为b>a>0，所以ab>a2，所以>a.故b>>>a.故选C． A．当x≥1时，x＋≥2 B．当x<0时，x＋≤－2 C．当0<x<1时，＋ >2 D．当x>2时，＋ ≥2 A．由x≥1，得x＋≥2＝2，等号成立的条件是x＝⇒x＝1，故A正确；B．当x<0时，－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，所以x<0时，x＋≤－2，等号成立的条件是x＝－1，故B正确；C．当0<x<1时，0<<1，＋≥2，等号成立的条件是x＝1，但条件是0<x<1，所以等号取不到，故＋>2，C正确；D．当x>2时，＋≥2＝2，等号成立的条件是＝，即x＝2，但条件是x>2，所以等号取不到，所以＋>2，故D不正确．故选ABC． A．ab≤ B．ab≤ C．≥ D．≤ 由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得， ab≤，所以≥，故选ABC． 当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64. 所以mn的最大值为32. 5．已知m，n>0，且m＋n＝16，则mn的最大值为________． 所以mn≤＝＝64， 6．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为_____． 因为y＝4x＋(x＞0，a＞0)，所以y＝4x＋≥2 ＝4，当且仅当4x＝即x＝时，等号成立．又因为y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，所以＝3，所以a＝36. 所以y＝2－≤2－4＝－2. 当且仅当x＝(x>0)，即x＝2时取等号，ymax＝－2. 7．(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值； 因为x>0，所以x＋≥4， 所以y＝2x－1＋＝2x－5＋＋4＝－＋4≤ －2＋4＝2， 当且仅当5－2x＝，即x＝2时等号成立． 所以y＝2x－1＋的最大值为2. (2)已知x<，求y＝2x－1＋的最大值． 因为x<，所以2x－5<0， (1＋x)(1＋y)≤＝＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取得最大值25，故选B． 9．设a>0，则a＋的最小值为 A．2 B．2 C．4 D．5 因为a>0，所以a＋＝a＋1＋≥1＋2＝5，当且仅当a＝2时取等号，所以a＋的最小值为5.故选D． 因为a>0，b>0且2ab＝2a＋b＋3，所以2a＋b≥2＝2，所以(2a＋b)2－4(2a＋b)－12≥0，所以2a＋b≥6或2a＋b≤－2(舍去)，当且仅当a＝，b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为6. 11．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为_____． 实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立． 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 得＋＝1， 又x>0，y>0， 得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18， C．(7，12) D． 设矩形的长和宽分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.由xy≤知，S≤，故A，C成立． 又x>0，y>0，a>0，所以＋≥2 ＝2， 所以1＋a＋＋≥1＋a＋2，当且仅当y＝x时，等号成立． 所以要使(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需1＋a＋2≥9恒成立即可． 所以a≥4，故a的最小值为4. 14．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值． 因为(x＋y)＝1＋a＋＋， $$