2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　等式性质与不等式性质 　 第 二 章 2.1　等式性质与不等式性质 学习目标 理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　不等式的性质 内 容 索 引 知识点　不等式的性质 索引 你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc. 提示：(1)如果a>b，那么b<a；(2)如果a>b，b>c，那么a>c；(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c；(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac<bc. 问题导思 不等式的基本性质 新知形成 b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd an>bn (1)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据． (2)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (3)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． 微提醒 A．a<b B．ab>a＋b C．|a|<|b| D．ab>b2 √ √ 所以ab>a＋b，故选项B正确；因为b<a<0，所以|b|>|a|，故选项C正确；因为b<a<0，所以b<0，a－b>0，可得ab－b2＝b(a－b)<0，ab<b2，故选项D不正确．故选BC． 例1 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 1．要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质． 2．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 方法技巧 即时练1.已知实数a，b，c满足0<a<b，0<c<1，则下列选项一定成立的是 A．a＋c>b＋c B．ac>bc C．ac<b D．bc<a √ 因为0<a<b，0<c，所以a＋c<b＋c，ac<bc，又因为0<c<1，所以bc<b，所以ac<b.故选C． 即时练2.已知a>b，c>d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是 A．ad>bc B．ac>bd C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d √ 令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C．由不等式的性质5知，D一定成立．故选D． 索引 综　合　应　用 索引 应用一　利用不等式的性质证明不等式 因为c<d<0，所以－c>－d>0. 又因为a>b>0，所以a＋(－c)>b＋(－d)>0， 例2 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 1．利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． 2．应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 方法技巧 应用二　利用不等式的性质求代数式的取值范围 　　　已知1<a<4，2<b<8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 因为1<a<4，2<b<8， 所以2<2a<8，6<3b<24， 所以8<2a＋3b<32. 因为2<b<8，所以－8<－b<－2. 又因为1<a<4， 所以1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7<a－b<2. 例3 因为2<b<8， 变式探究 利用不等式的性质求取值范围的策略 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2．同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 方法技巧 即时练4.已知－2<a≤3，1≤b<2，求下列代数式的取值范围． (1)a＋b； 由－2<a≤3，1≤b<2，得－1<a＋b<5. 所以a＋b的取值范围是{a＋b|－1<a＋b<5}． (2)2a－3b. 由－2<a≤3得－4<2a≤6.① 由1≤b<2得－6<－3b≤－3.② 由①＋②得，－10<2a－3b≤3.所以2a－3b的取值范围是{2a－3b|－10<2a－3b≤3}． 索引 索引 1．(多选)下列运用等式的性质变形正确的是 A．若x＝y，则x＋5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bc 对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，正确；对于选项C，由等式的 √ √ √ 2．已知a<b<|a|，则下列不等式中恒成立的是 A．|b|<－a B．ab>0 C．ab<0 D．|a|<|b| 由a<b<|a|，知a<0，所以|a|＝－a，所以a<b<－a.所以|b|<|a|＝－a，故A正确．D错误．b的符号不确定，故B，C错误．故选A． √ 3．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围是______________． 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.所以－2<α－β<2，又α<β，所以α－β<0，所以－2<α－β<0. －2<α－β<0 4．(1)已知a>b，c<d，求证：a－c>b－d； 因为a>b，c<d， 所以a>b，－c>－d. 则a－c>b－d. 索引 课　时　精　练 索引 1．与a>b等价的不等式是 A．|a|>|b| B．a2>b2 C． >1 D．a3>b3 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．下列结论正确的是 A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>b，则a2>b2 C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d 若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a<c，所以A错误；取a＝1，b＝－2，则1>－2，而12<(－2)2，所以B错误；取a＝4，b＝1，c＝－1，d＝－2，则4>1，－1>－2，而4×(－1)<1×(－2)，所以C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．(2023·湖南衡阳高一质检)(多选)若a>b>0>c>d，则下列不等式恒成立的是 C．a－d>b－c D．ac>bd √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4．(多选)若x>1>y，则下列不等式一定成立的是 A．x－1>1－y B．x－1>y－1 C．x－y>1－y D．1－x>y－x √ √ √ 对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y>0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1>0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y>0，故选项D中不等式成立，故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 a>0>b 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6．设x>1，－1<y<0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：____________． 因为－1<y<0，所以0<－y<1，所以y<－y，又x>1，所以y<－y<x. y<－y<x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8．已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是 技能提升 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9．(多选)下列说法正确的是 A．若a>b>0，则ac2≥bc2 B．若a<b<0，则a2>ab>b2 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10．能够说明“设a，b是任意非零实数，若 >1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为_______________________． 要使“设a，b是任意非零实数，若 >1，则b>a”是假命题，只需满足b<a<0即可，可取a＝－1，b＝－2.答案不唯一． －1，－2(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 余下的一个作为结论，则可以组成_____个正确命题． 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．已知：3<a＋b<4，0<b<1，求下列各式的取值范围． (1)a； 因为3<a＋b<4，0<b<1， 所以－1<－b<0， 所以2<a＋b＋(－b)<4，即2<a<4. (2)a－b； 因为0<b<1，所以－1<－b<0. 又因为2<a<4，所以1<a－b<4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是 A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 迁移创新 因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.所以b<d.又a＋c<b，所以a<b.综上可得，d>b>a>c.故选A． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件： (1)该函数图象过原点； (2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； (3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4. 求当x＝－2时，y的取值范围． 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过原点， 所以c＝0，所以y＝ax2＋bx. 又因为当x＝－1时，1≤a－b≤2.① 当x＝1时，3≤a＋b≤4，② 所以当x＝－2时，y＝4a－2b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， 而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b， 所以4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)． 由①②可知3≤a＋b≤4，3≤3(a－b)≤6， 所以3＋3≤4a－2b≤4＋6， 即6≤4a－2b≤10， 故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10. 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔______ 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒______ 不可逆 3 可加性 a>b⇔____________ 可逆 4 可乘性 ⇒________ c的符号 ⇒________ 性质 别名 性质内容 注意 5 同向可加性 ⇒____________ 同向 6 同向同正可乘性 ⇒________ 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒________ (n∈N，n≥2) 同正 由<<0可得b<a<0，显然选项A不正确；因为b<a<0，所以ab>0，a＋b<0， 　　　 (多选)已知<<0，则下列结论正确的是 又因为e<0，所以>. 　　　(链接教材P42例2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：> . 即a－c>b－d>0，所以0<<. 又因为a>b>0，两边同乘正数，得>>0.② 由①②得>. 即时练3.已知a>b>0，求证：>. 因为a>b>0，所以>>0.① 所以1×<a·<4×，即<<2. 故的取值范围是<<2. (变设问)在本例条件下，求的取值范围. 所以<<，因为1<a<4， C．若＝，则a＝b D．若x＝y，则＝ 性质4知，若＝，则a＝b，正确；对于选项D，若x＝y，则＝的前提条件为a≠0，故选项D错误．故选ABC． 又因为a>b，所以a·>b·， 即>，因此<. (2)已知a>b，ab>0，求证：<. 因为ab>0，所以>0. 令a＝－1，b＝－3，则a>b，但|a|<|b|，a2<b2，<1，故ABC均错误，故选D． A．> B．> d<c<0⇒<<0，A错；>，B对；－d>－c>0，a>b，所以a－d>b－c，C对；取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，ac＝bd，D错．故选BC． 5．不等式a>b和>同时成立的条件是________． 若a，b同号，则a>b⇒<，所以a，b异号，即a>0>b. 7．若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc.因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤. A．如果a>b，那么> B．如果ac<bc，那么a<b C．如果a>b，那么< D．如果a>b，那么> 利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A，B，C中的前提条件．对于选项A，有<，故A是假命题；对于选项B，有a>b，故B是假命题；对于选项C，有>，故C是假命题；对于选项D，因为c≠0，所以>0，由不等式的性质4知，D是真命题．故选D． C．若a>b>0且c>0，则> D．若a>b且>，则ab<0 对于A，若a>b>0，则ac2－bc2＝c2(a－b)≥0，即ac2≥bc2，故A正确；对于B，若a<b<0，则a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，若a>b>0且c>0，则－＝＝<0，所以<，故C错误；对于D，若a>b且>，则b－a<0，－＝>0，所以ab<0，故D正确．故选ABD． 11．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件， 由②得>0，又由③得bc－ad>0，所以②③⇒①，①②⇒③，③①⇒②.所以可以组成3个正确命题． 又因为2<a<4，所以>2. (3). 因为0<b<1，所以>1， 所以解得m＝1，n＝3， $$