2.1 第1课时 不等关系与不等式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 [学习目标]　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．　2.初步学会作差法比较两实数的大小． 知识点一　不等关系与不等式 生活中的不等关系处处存在，我们经常看到下列标志： 其含义分别为 ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m. 你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①v≥50 km/h；②m≤10 t；③h≤3.5 m. 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ [微提醒]　不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确． 下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高表示为“x<y” C．某变量x至少是a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≥a” C　[某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x≤2 000”，所以A错误；小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高表示为“x>y”，所以B错误；某变量x至少是a可表示为“x≥a”，所以C正确；某变量y不超过a可表示为“y≤a”，所以D错误．] 即时练1.李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是________． 解析：由题意知，x个月后所存的钱数为(30x＋60)元，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x＋60≥400. 答案：30x＋60≥400 学生用书第29页 知识点二　实数大小比较的基本事实 在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B．那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 实数大小比较的基本事实 (1)文字叙述 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对． (2)符号表示 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. [微提醒]　(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小． 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解析：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋. 因为≥0， 所以＋≥>0， 所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， 所以2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2. 方法技巧 作差法比较两个实数大小的基本步骤 即时练2.比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小． 解析：因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6) ＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0， 所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6)． 知识点三　 重要不等式 如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 提示：正方形的边长为，这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2>2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab. 于是就有a2＋b2≥2ab. 事实上，利用完全平方公式得a2＋b2－2ab＝(a－b)2. 因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋b2－2ab≥0. 因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 学生用书第30页 　一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 已知a>0，b>0. (1)求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)； 证明：(1)因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋3b2≥2b(a＋b)． (2)求证：a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明：(2)因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2， 因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b. 方法技巧 比较两个代数式的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个代数式的大小关系，通过逻辑推理进行证明． 即时练3.设a＞0，b＞0，求证：a5＋b5≥a4b＋ab4. 证明：a5＋b5－(a4b＋ab4)＝(a5－a4b)＋(b5－ab4)＝a4(a－b)＋b4(b－a)＝(a4－b4)(a－b) ＝(a2＋b2)(a2－b2)(a－b)＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)2，因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，a2＋b2＞0，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立， 所以(a2＋b2)(a＋b)(a－b)2≥0. 所以a5＋b5≥a4b＋ab4. 不等式关系的实际应用 为纪念建党102周年，某单位组织员工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠 . 解析：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元． 由题意，得y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx. 因为y1－y2＝x＋nx－nx ＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1<y2； 当n<5时，y1>y2. 所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 方法技巧 现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题． 即时练4.某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元． 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20. 由题意，得总产值y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 答案：20　330 学生用书第31页 1．某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A　[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m．故选A．] 2．已知a1，a2∈{x|0<x<1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 B　[由题意得0<a1<1，0<a2<1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，故M>N.故选B．] 3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”) 解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0，即a2－ab>ba－b2. 答案：> 4．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为____________． 解析：由题图可知，题图1广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图2广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1>S2，即(a2＋b2)>ab. 答案：(a2＋b2)>ab 课时精练(十)　不等关系与不等式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，实数a，b一定是(　　) A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 C　[原不等式可变形为a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，对任意实数都成立．故选C．] 2．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．] 3．将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为(　　) A． B．2x－5≥1或5－2x≥1 C． D． D　[由题意，可知另一段绳子的长度为(5－x)m.因为两段绳子的长度之差不小于1 m， 所以即故选D．] 4．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为(　　) A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y” C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c且a＋c>b且b＋c>a” D．若某天的最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃” CD　[对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误；对于B，小明比小华矮，应表示为“x<y”，故B错误；C，D正确．故选CD．] 5．已知a为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“>”“<”或“＝”) 解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0， 所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)． 答案：< 6．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是____________． 解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t<28 000. 答案：4.5 t<28 000 7．一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)． 解析：由题意知 解得＜a＜. 又a∈N*，所以a＝5，所以b＝7， 所以所求的两位数为57. [技能提升] 8．已知a1>1，a2>1，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为(　　) A．P>Q B．P<Q C．P＝Q D．不确定 B　[P－Q＝－＝－＝＝. 因为a1>1，a2>1，所以a1－1>0，1－a2<0，a1a2>0，所以P－Q＝<0，所以P<Q.故选B．] 9．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　) A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 A　[根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.故选A．] 10．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是________． 解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a2－ab＋b2＝＋b2≥0，所以A≥B． 答案：A≥B 11．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值． 解析：根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立． 答案：2　±1 12．已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 食物 甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg) 800 400 设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B． 试用不等式组表示x，y所满足的不等关系． 解析：x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有即 [迁移创新] 13．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　) A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 C　[依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)，因为0≤x≤78， 所以⇒⇒≤m≤，根据选项m＝8，x＝30， 所以买大竹子30根，每根8钱．故选C．] 14．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数． 解析：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，得解得<x<. 因为x∈N*，所以x＝10，11或12，相对应的学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人． 学科网（北京）股份有限公司 $$