1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习目标]　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．　2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点一　全称量词命题的否定 写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x＋|x|≥0. 以上命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x＋|x|<0. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题． 1．全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 [微提醒]　(1)写出一个全称量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． (2)一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 学生用书第24页 写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被2整除的整数都是偶数； 解析：(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数． (2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； 解析：(2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上． (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根． 解析：(3)该命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根． 方法技巧 全称量词命题否定的关注点 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)． 2．全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题要补上量词后进行否定． 即时练1.写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； 解析：(1)∃n∈Z，n∉Q. (2)任意奇数的平方还是奇数； 解析：(2)存在一个奇数的平方不是奇数． (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 解析：(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 知识点二　存在量词命题的否定 　写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 以上命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式．其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． [微提醒]　命题的否定总结起来就是“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定． (链接教材P30例4，P31例5)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； 解析：(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． (2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； 解析：(2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． (3)∃x，y∈Z，使得 x＋y＝3. 解析：(3)该命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3. 当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 学生用书第25页 方法技巧 存在量词命题否定的关注点 1．存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)． 2．存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题要补上量词后进行否定． 即时练2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有的素数是偶数； 解析：(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数． 由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题． (2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0. 解析：(2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0. 因为当a＝b＝0时，a2＋b2＝0， 所以命题的否定是假命题. 根据命题的否定求参数 已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 解析：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0或 即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围是a≤1. [变式探究]　(变条件)将本例中的条件“ax2＋2x＋1≠0”改为“2x≠－x2＋a”，求实数a的取值范围． 解析：因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，即命题“∃x∈R，2x＝－x2＋a”为真命题．则－x2－2x＋a＝0有实根． 所以Δ＝4＋4a≥0，所以a≥－1. 所以a的取值范围为a≥－1. 方法技巧 利用含量词的命题的否定求参数的取值范围 1．含参数的全称量词命题为假时，常利用其否定(存在量词命题)为真转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． 2．含参数的存在量词命题为假时，常利用其否定(全称量词命题)为真转化为不等式恒成立，根据有关代数恒等式(如x2≥0)确定参数的取值范围． 即时练3.命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解析：命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1. 所以实数a的取值范围是a≥1. 1．命题p：∃x∈Q，x2＝2的否定为(　　) A．∃x∉Q，x2＝2 B．∃x∈Q，x2≠2 C．∀x∉Q，x2＝2 D．∀x∈Q，x2≠2 D　[命题p：∃x∈Q，x2＝2的否定为∀x∈Q，x2≠2，故选D．] 2．(多选)下列四个命题中，其命题的否定是假命题的有(　　) A．有理数是实数 B．有些四边形不是菱形 C．∀x∈R，x2－2x>0 D．∃x∈R，2x＋1为奇数 ABD　[由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题． 有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题． ∀x∈R，x2－2x>0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题． ∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题．故选ABD．] 3．命题“∀x>－3，x2>9”的否定是______________，是________命题(填“真”或“假”)． 解析：由于该命题是一个全称量词命题，因此其否定是存在量词命题，因为原命题“∀x>－3，x2>9”是假命题，故其否定为真命题． 答案：∃x>－3，x2≤9　真 4．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)∃x，y∈Z，使得x＋y＝5； 解析：(1)该命题的否定：∀x，y∈Z，都有x＋y≠5.因为当x＝0，y＝5时，x＋y＝5， 所以原命题为真，原命题的否定为假命题． (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除． 解析：(2)命题的否定：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． 课时精练(九)　全称量词命题和存在量词命题的否定 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．命题“∀x∈R，x2－2x＋4<0”的否定为(　　) A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋4≥0 C．∀x∉R，x2－2x＋4≥0 D．∃x∉R，x2－2x＋4≥0 B　[命题为全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，则命题的否定：∃x∈R，x2－2x＋4≥0，故选B．] 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是无理数 B　[命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．] 3．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 AC　[命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”，所以p是真命题，¬p是假命题．故选AC．] 4．(多选)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|>0 BD　[A．¬p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题． B．¬q：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立． C．¬r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，是假命题． D．¬s：存在实数a，使|a|≤0，是真命题．故选BD．] 5．“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是__________________，是______命题(填“真”或“假”)． 解析：“有一个平行四边形”中含有存在量词，因此这是一个存在量词命题，其否定应是全称量词命题，原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题． 答案：任意平行四边形的对角线相等　假 6．若命题“∃x<2 023，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是______________． 解析：由于命题“∃x<2 023，x>a”是假命题，因此其否定“∀x<2 023，x≤a”是真命题，所以a≥2 023. 答案：{a|a≥2 023} 7．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：末位数字为9的整数能被3整除； 解析：(1)¬p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．¬p为真命题． (2)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0； 解析：(2)¬p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.¬p为真命题． (3)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 解析：(3)¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.¬p为真命题． [技能提升] 8．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 D　[由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2”．故选D．] 9．已知p：∀x∈R，2x2＋2x＋>0，q：∃a∈R，函数y＝x2－x＋a的图象与x轴有交点，则下列判断正确的是(　　) A．p是真命题 B．q是假命题 C．p的否定是假命题 D．q的否定是假命题 D　[在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故p为假命题，p的否定为真命题；在命题q中，当a＝0时，函数y＝x2－x的图象与x轴有交点，故q为真命题，q的否定是假命题．故选D．] 10．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为_________________，此命题的否定是_________________________，是____命题(填“真”或“假”)． 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题． 答案：∃x，y∈R，x＋y>1　∀x，y∈R，x＋y≤1　假 11．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0. (1)命题p的否定为：________________； 解析：(1)命题存在x∈R，x2＋2x＋a＝0是存在量词命题，其否定为：∀x∈R，x2＋2x＋a≠0. 答案：(1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0　 (2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：(2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， 所以Δ＝4－4a≥0，所以a≤1. 答案：(2){a|a≤1} 12．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求实数a的取值范围． 解析：命题p的否定为：“∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立”， 设y＝x2＋2ax＋2－a，x∈[1，2]， 由题意，有解得a≤－3， 因为命题p的否定为假命题， 所以a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)． [迁移创新] 13．已知命题p：“存在0≤x1≤3，对任意－m≤x2≤2，使得x1＜x2”为假，则实数m的取值范围是________． 解析：命题p的否定为：“任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2”为真命题，等价于(x1)min≥(x2)min，得0≥－m，所以m≥. 答案：m≥ 14．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：“若∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？并说明理由． 解析：两位同学题中实数m的取值范围是一致的． 因为“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题． 所以两位同学题中实数m的取值范围是一致的． 学生用书第26页 学科网（北京）股份有限公司 $$