1.5.1 全称量词与存在量词-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 [学习目标]　1.理解全称量词、全称量词命题的定义．　2.理解存在量词、存在量词命题的定义．　3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知识点一　全称量词与全称量词命题 　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)x>3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数． 提示：语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题． 全称量词与全称量词命题 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量词 命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立 符号表示 ∀x∈M，p(x) [微提醒]　(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． 学生用书第21页 (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假． (1)凸多边形的外角和等于360°； 解析：(1)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． (2)∀x∈R，x2>0； 解析：(2)是，有全称量词“∀”，假命题． (3)矩形的对角线相等． 解析：(3)是，省略了全称量词“任意一个”，真命题． 方法技巧 1．判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． 2．判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可． 即时练1.下列语句既是命题又是全称量词命题的是________． (1)对任意实数x，x2＋1≥2； (2)有一个实数a，a不能取对数． 解析：(1)(2)是命题，其中(1)中含有全称量词，所以是全称量词命题． 答案：(1) 即时练2.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为________________________． 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 知识点二　存在量词与存在量词命题 　下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除． 提示：(1)(2)不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题． 存在量词与存在量词命题 存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量 词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立 符号表示 ∃x∈M，p(x) [微提醒]　(1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． (链接教材P28例2)判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假． (1)有些整数既能被2整除，又能被3整除； 解析：(1)是存在量词命题，可表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．真命题． (2)某个四边形不是平行四边形； 解析：(2)是存在量词命题，可表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．真命题． (3)方程3x－2y＝10有整数解； 解析：(3)是存在量词命题，可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．真命题． (4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0. 解析：(4)是存在量词命题，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，因此方程无实根．假命题． 学生用书第22页 方法技巧 1．判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． 2．判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立． 即时练3.判断下列存在量词命题的真假： (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； 解析：(1)菱形的对角线互相垂直，真命题． (2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数； 解析：(2)n2＋n＝n(n＋1)，故n和n＋1必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题． (3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数． 解析：(3)当x＝π时，x2仍是无理数，真命题． 即时练4.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为____________________． 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述． 答案：∃x<0，使得(1＋x)(1－9x)>0 依据含量词命题的真假求参数的取值范围(值) 已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋2－a<0为真命题，求实数a的取值范围． 解析：因为命题p为真命题，且二次函数y＝x2＋x＋2－a的图象是开口向上的抛物线，因此该抛物线与x轴一定有两个交点，故二次函数对应的方程有两个实数根，则Δ＝1－4(2－a)>0，解得a>. 即实数a的取值范围为. [变式探究]　1．(变条件)将本例中的条件改为“∃x∈R，x2＋x＋2－a＝0”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解析：因为p为真命题，因此方程x2＋x＋2－a＝0有实数根，则Δ＝1－4(2－a)≥0，解得a≥. 即实数a的取值范围为. 2．(变条件)将本例中的条件改为“∀x∈R，x2＋x＋2－a>0”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解析：法一：因为p为真命题，则函数y＝x2＋x＋2－a的图象恒在x轴上方，又x2＋x＋2－a＝＋－a，则－a>0，故a<. 即实数a的取值范围为. 法二：由于∀x∈R，x2＋x＋2－a>0恒成立，则Δ＝1－4(2－a)<0，解得a<. 即实数a的取值范围为. 方法技巧 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 1．含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． 2．含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式知识解决． 即时练5.若对任意x>3，有x>a恒成立，则a的取值范围是________． 解析：由于对任意x>3，有x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 答案：{a|a≤3} 即时练6.若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析：当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题． 答案：{m|m≤5} 学生用书第23页 1．下列命题是全称量词命题的是(　　) A．有一个偶数是质数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360° D　[因为“每个”是全称量词，故选D．] 2．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，x3＝3 B．∃x∈R，3x＋1是整数 C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z AB　[A是真命题，由x3＝3得x＝，是无理数，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，|x|<3；D是假命题，如x＝，x2∉Z.故选AB．] 3．若存在x∈{x|x>0}，使方程x－a＝0有解是真命题，则实数a的取值范围是____________． 解析：由x－a＝0知a∈{x|x>0}，因此a>0. 答案：{a|a>0} 4．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． (1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立； 解析：(1)存在量词命题．因为x2＋x＋8＝＋>0，所以该命题为假命题． (2)每个二次函数的图象都与x轴相交． 解析：(2)全称量词命题．如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题． 课时精练(八)　全称量词与存在量词 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2≤0 C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 B　[A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件，C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B．] 2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q B　[因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，如图，所以A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．] 3．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C．任选一个x∈R，都有x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 ABD　[C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意，故选ABD．] 4．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 CD　[当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确．故选CD．] 5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为______________________． 解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 答案：∃x<0，使得(1＋x)(1－9x)2>0 6．若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题， 根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝(－3)2－4×9a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围是. 答案： 7．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性． (1)对所有的正实数t, 为正且 <t； 解析：(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t＝1，则<t不成立． (2)存在实数x，使得x2－3x－4＝0； 解析：(2)为存在量词命题，且为真命题， 因为判别式Δ＝b2－4ac＝25>0， 所以存在实数x，使得x2－3x－4＝0. (3)存在实数对(x，y)，使得3x－4y－5>0； 解析：(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x－4y－5>0成立． (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 解析：(4)为全称量词命题，且为真命题． [技能提升] 8．下列命题中形式不同于其他三个的是(　　) A．∀x∈Z，x2－9<x2 B．∃x∈R，x2－2x＋1≠0 C．每一个正数的倒数都大于0 D．∀x<2，x－3<0 B　[A，C，D均为全称量词命题，B为存在量词命题．故选B．] 9．下列命题中正确的个数是(　　) ①∃x∈R，x≤0； ②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 D　[①∃x∈R，x≤0，正确； ②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件； ③∃x∈{x|x是无理数}，x＋5是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确．故选D．] 10．下列命题： ①存在x<0，使|x|>x； ②对于一切x<0，都有|x|>x； ③存在实数x，使x2＋x＋1<0； ④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅. 其中，所有正确命题的序号为________． 解析：命题①②显然为真命题；③由于对于∀x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立，故③为假命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故④为假命题． 答案：①② 11．若命题“∃x>1，使ax－3<0”是真命题，则实数a的取值范围是____________． 解析：当a≤0时，显然存在x>1，使ax－3<0； 当a>0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3<0，得a<3，故0<a<3. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a<3}． 答案：{a|a<3} 12．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)实数都能写成小数形式； 解析：(1)∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题． (2)有的有理数没有倒数； 解析：(2)∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题． (3)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根； 解析：(3)∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根． 当m＝－1时，方程无实根，故此命题是假命题． (4)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0. 解析：(4)∃x∈R，使x2＋x＋4≤0，x2＋x＋4＝＋>0恒成立，所以为假命题． [迁移创新] 13．能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序数对(a，b)为________． 解析：由a2－ab＋b＝0，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，则b＝(a≠1)． 当a＝2，b＝4时，能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题． 答案：(2，4)(答案不唯一) 14．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}， (1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； 解析：(1)∀x∈M，x＋1＞0是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是a＞－1. (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围． 解析：(2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是a＞－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$