1.4.2 充要条件-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1.4.2　充要条件 [学习目标]　通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 知识点　充要条件 下列“若p，则q”的命题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ (1)p：两直线平行，q：同位角相等； (2)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 提示：p⇒q，故p是q的充分条件，又q⇒p，故p也是q的必要条件． 　　如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． [微提醒]　充要条件的判断方法关注点：(1)确定哪个是条件，哪个是结论；(2)尝试用条件推结论；(3)再尝试用结论推条件；(4)最后判断条件是结论的什么条件． (链接教材P21例3)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)： (1)p：x＝1，q：x－1＝； 解析：(1)当x＝1时，x－1＝成立；当x－1＝时，x＝1或x＝2. 所以p是q的充分不必要条件． (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； 解析：(2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件． (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； 解析：(3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)p：a是自然数，q：a是正数． 解析：(4)0是自然数，但0不是正数，故p q；又是正数，但不是自然数，故q p．故p是q的既不充分也不必要条件． 方法技巧 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 1．定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． 2．集合法：即利用集合的包含关系判断． 3．等价法：一般对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 4．传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 即时练1.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 B　[P(x，y)要满足第二象限，则x<0，y>0.故选B．] 即时练2.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)： (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被4整除，q：a能被2整除． 解析：(1)充要条件；(2)必要不充分条件(两条弦相等，弦所对的圆周角相等或互补)；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件． 学生用书第19页 应用一　充要条件的证明 (链接教材P22例4)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三边边长) 证明：必要性： 因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性： 由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立． 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 方法技巧 充要条件的证明策略 1．要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． 2．在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，即证明p与q的解集相同． [提醒]　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向． 即时练3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b， 所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 应用二　充分、必要、充要条件的应用 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． [变式探究]　1.(变条件)若将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB． 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m|m≥9}． 2．(变问法)本例中p，q不变，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解析：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 若p是q的充要条件，则m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 方法技巧 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 第一步：根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． 第二步：根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 即时练4.已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2. (1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ 解析：(1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|1≤x≤a}{x|1≤x≤2}，又a≥1，所以1≤a<2.所以当1≤a<2时，p是q的充分不必要条件． (2)当a为何值时，p是q的充要条件？ 解析：(2)因为p是q的充要条件，所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件． 学生用书第20页 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．故选A．] 2．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[a＝1⇒N⊆M，N⊆M⇒a2＝1或2，所以N⊆M a＝1.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．故选A．] 3．二次函数y＝x2－2mx＋1的对称轴方程是x＝5的充要条件是m＝________． 解析：y＝x2－2mx＋1的对称轴方程是x＝m，所以m＝5. 答案：5 4．在下列各题中，判断p是q的什么条件？请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”解答． (1)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0； 解析：(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1” 是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． (2)p：“a＋b<0且ab>0”，q：“a<0且b<0”． 解析：(2)因为a＋b<0且ab>0，所以a，b同号且都是负数， 即a＋b<0且ab>0⇒a<0且b<0. 因为a<0且b<0，所以a＋b<0，ab>0， 即a<0且b<0⇒a＋b<0且ab>0. 所以a＋b<0且ab>0是a<0且b<0的充要条件， 即p是q的充要条件． 课时精练(七)　充要条件 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．“x(x－1)＝0”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　[x(x－1)＝0，则x＝0或1；x2－2x＋1＝0，则x＝1，故“x(x－1)＝0”是“x2－2x＋1＝0”的必要不充分条件．故选C．] 2．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2， 而当0≤x≤2时一定有x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．故选B．] 3．(多选)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是(　　) A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件 C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 ABD　[A正确．Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根； B正确．Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根； C错误．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根Δ＝b2－4ac>0； D正确．Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实根．故选ABD．] 4．(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一个充分不必要条件是(　　) A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤0或x>2 BC　[从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意．] 5．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析：由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1； 反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 答案：必要不充分 6．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B； 反之，由A⊆B，则A∪B＝B， 所以由x∈A∪B可得x∈B， 故x∈B是x∈A∪B的充要条件． 答案：充要 7．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. [技能提升] 8. 集合A，B之间的关系如图所示，p：a∈∁UB，q：a∈A，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由图可知A是B的补集的真子集，则p是q的必要不充分条件．故选B．] 9．(2023·河南高一联考诊断)2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”．对接时，要同时满足空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天实验舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”．根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由题意知，“太空握手”⇒“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”；“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”． 所以“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件．故选A．] 10．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的____________条件． 解析：若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立； 反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5，但x＝2且y＝3不成立，即p⇒q，q p，故p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 11．若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，“若x>6，则x>a”为真命题，故实数a的取值范围是a≤6. 答案：a≤6 12．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}． (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件； 解析：(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，所以实数a的取值范围是{a|－3≤a≤5}． (2)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件． 解析：(2)若a＝－5，显然M∩P＝{x|－5≤x<－3或5<x≤8}，则a＝－5是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件．结合数轴可知a<－3时符合题意，则实数a的取值范围是{a|a<－3}． [迁移创新] 13．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　) BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD．] 14．在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由． 问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？ 解析：由题意知A＝{x|0≤x≤4}， 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得a≥3， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|a≥3}． 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得0<a≤1， 所以a存在，且a的取值集合M＝{a|0<a≤1}． 若选③，则A＝B， 所以1－a＝0且1＋a＝4， 又a>0，方程组无解， 所以不存在满足条件的a. 学科网（北京）股份有限公司 $$