1.4.1 充分条件与必要条件-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 [学习目标]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．　2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 知识点　充分条件与必要条件 　判断下列命题的真假： (1)若x>3，则x>1. (2)若ab＝0，则a＝0. (3)若平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形． 通过以上命题的真假判断，你认为条件和结论具有怎样的逻辑关系？ 提示：(1)为真命题，即条件“x>3”能够推出结论“x>1”．(2)为假命题，即条件“ab＝0”推不出结论“a＝0”．(3)为真命题，即条件“平行四边形的对角线相等”能够推出结论“这个平行四边形是矩形”． 1．命题 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (3)结构：“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q” 是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p_ q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 [微提醒]　(1)p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的． (2)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． (1)(链接教材P18例1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 解析：(1)①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． ②由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． ③法一：由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件． 法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． (2)(链接教材P19例2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 解析：(2)①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． ②因为p⇒q，所以q是p的必要条件． ③因为p q，所以q不是p的必要条件． 方法技巧 充分、必要条件的判断方法 1．判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． 2．利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 即时练1.指出下列各题中，p是q的什么条件： (1)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除； 解析：(1)实数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，q p，所以p是q的充分条件． (2)p：x>2且y>3，q：x＋y>5； 解析：(2)x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以p是q的充分条件． (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． 解析：(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即pq，且q⇒p，所以p是q的必要条件． 学生用书第17页 充分条件与必要条件的应用 已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 解析：由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集． 当3m－2＞5m＋2，即m＜－2时，Q＝∅，满足题意； 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得解得0＜m＜. 综上，m的取值范围是. [变式探究]　(变条件)若将本例中的“P的充分条件为Q”改为：“P的必要条件为Q”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解析：由题意得，P是Q的子集， 则解得m∈∅. 方法技巧 充分条件与必要条件的应用技巧 1．应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． 2．求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 即时练2.已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是____________． 解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P， 所以即所以－1≤a≤5. 答案：－1≤a≤5 1．俗语云：“好人有好报”．这句话的意思中，“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 A　[这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选A．] 2．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充分条件，也是必要条件 D．既不充分条件，也不必要条件 B　[由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p.故选B．] 3．使x>3成立的一个充分条件是(　　) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.故选A．] 4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)． 解析：由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件． 答案：必要　充分 5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________． 解析：因为x>1⇒x>a，所以a≤1. 答案：a≤1 课时精练(六)　充分条件与必要条件 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．若“2≤x<5”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是(　　) A．a<2 B．a≤2 C．a>5 D．a≥5 A　[因为2≤x<5⇒x>a，所以a<2，故选A．] 2．“0<x<4”是“1<x<3”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充分条件，也是必要条件 D．既不充分条件，也不必要条件 B　[因为1<x<3⇒0<x<4，又0<x<41<x<3，所以0<x<4是1<x<3的必要不充分条件，故选B．] 3．已知P＝{x|m－2<x<m＋3}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A．0<m<3 B．0<m≤3 C．0≤m<3 D．0≤m≤3 D　[若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，所以Q⊆P，所以即所以0≤m≤3，故选D．] 4．(多选)下列命题中是假命题的是(　　) A．“x>4且y>1”是“x＋y>5”的必要条件 B．“A∩B≠∅”是“A⊆B”的充分条件 C．“a>－1”是“|a|>0”的必要条件 D．一个三角形的三边满足勾股定理的充分、必要条件是此三角形为直角三角形 ABC　[x>4且y>1⇒x＋y>5成立，充分性成立，但x＋y>5时，如x＝9，y＝0，不满足x>4且y>1，必要性不成立，A为假命题；A∩B≠∅，如A＝{1，2}，B＝{2，3}，但不能得出A⊆B，充分性不成立，B为假命题；当|a|>0时，如a＝－2，但不满足a>－1，必要性不成立，C为假命题；设三角形三边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2，则三角形一定是直角三角形，反之，直角三角形的三边满足勾股定理，D为真命题．故选ABC．] 5．在下列各题中，用符号“⇒”、“⇐”或“⇔”填空： (1)x＝a__________(x－a)(x－b)(x－c)＝0； 解析：(1)当x＝a时，(x－a)(x－b)(x－c)＝0， 当(x－a)(x－b)(x－c)＝0，x＝a或x＝b或x＝c， 故x＝a⇒(x－a)(x－b)(x－c)＝0； 答案：(1)⇒　 (2)x是能被4整除的自然数__________x是偶数； 解析：(2)当x是能被4整除的自然数，则x是偶数， 当x是偶数，当x不一定是能被4整除的自然数， 故当x是能被4整除的自然数 ⇒x是偶数． 答案：(2)⇒ (3)甲是上海人__________甲是中国人． 解析：(3)若甲是上海人，则甲是中国人， 若甲是中国人，则甲不一定是上海人， 所以甲是上海人⇒甲是中国人． 答案：(3)⇒ 6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件(用“充分”“必要”填空)． 解析：若“四边形ABCD为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件但不是必要条件． 答案：充分 7．指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件： (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； 解析：(1)因为x2＝2x＋1 x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件． (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； 解析：(2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0 a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件． (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解析：(3)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分条件． [技能提升] 8．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 B　[对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．故选B．] 9．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} C　[A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}．因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1， 即－2<b<2.故选C．] 10．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________． 解析：因为p是q的必要条件，所以q⇒p，所以解得a≤－9. 答案：{a|a≤－9} 11．下列式子：①a<0<b；②b<0<a；③0<b<a. 其中能使<成立的充分条件有________．(只填序号) 解析：根据<，可得<0，故b－a与ab异号．对于①，由a<0<b，可得b－a>0，ab<0，故①能使<成立； 对于②，由b<0<a，可得b－a<0，ab<0，故②不能使<成立； 对于③，由0<b<a，可得b－a<0，ab>0，故③能使<成立． 故能使<成立的充分条件有①③. 答案：①③ 12．已知p：－1<x<3，若－a<x－1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围． 解析：由于p：－1<x<3， 又由－a<x－1<a，得1－a<x<1＋a， 依题意，得{x|－1<x<3}⊆{x|1－a<x<1＋a}， 所以解得a≥2， 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}． [迁移创新] 13．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 A　[因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．] 14．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，非空集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围； 解析：(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 所以所以a≥2， 故实数a的取值范围是a≥2. (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围． 解析：(2)因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件，所以B⊆A． 则解得≤a≤1. 故实数a的取值范围是≤a≤1. 学生用书第18页 学科网（北京）股份有限公司 $$