1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　全集、补集及综合应用 [学习目标]　1.了解全集的含义及其符号表示．　2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．　3.会用Venn图、数轴进行集合的综合运算． 知识点　全集与补集 U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}． 请回答以下问题： 1．集合U，A，B三者有何关系？ 提示：U＝A∪B． 2．集合B中元素与U和A有何关系？ 提示：B中元素都在U中， 但都不在A中． 1．全集 (1)概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：通常记作U． 学生用书第13页 2．补集 [微提醒]　(1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． (1)(链接教材P13例5)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则∁UA＝(　　) A．{1，3} B．{1，3，6} C．{2，3，6} D．{2，3，5} 解析：(1)因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，所以∁UA＝{1，3，6}．故选B． 答案：(1)B　 (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________________． 解析：(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上， 如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 答案：(2){x|x<－3或x＝5} 方法技巧 两种求补集的方法 1．若所有的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍． 2．若所给的集合是用列举法表示，则常用Venn图求解． 即时练1. (2022·全国甲卷) 设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3} B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0} D　[由题意，B＝＝， 所以A∪B＝， 所以∁U＝.故选D．] 即时练2.若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U分别取下列集合时，求∁UA． (1)U＝R； 解析：(1)把集合A表示在数轴上，如图所示．又U＝R， 由图知∁UA＝{x|x<－1或x≥1}． (2)U＝{x|x≤2}； 解析：(2)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|x<－1或1≤x≤2}． (3)U＝{x|－4≤x≤1}． 解析：(3)把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}． 应用一　集合交、并、补的综合运算 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 解析：如图所示． 因为A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， 所以∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}， A∪B＝{x|－3≤x<3}． 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}． 方法技巧 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 学生用书第14页 即时练3.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4} A　[图中阴影部分表示的集合在集合A但不含集合B中的元素，故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB)．因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，3}，所以∁UB＝{4，5}．因为A＝{2，4}，所以A∩(∁UB)＝{4}．故选A．] 应用二　与补集有关的参数范围问题 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解析：法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示集合B，∁UA如图． 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是m≥2. 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2. [变式探究]　1．(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ 解析：由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅， 所以－m>－2，解得m<2. 故m的取值范围为{m|m<2}． 2．(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ 解析：由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R， 所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为{m|m≥2}． 方法技巧 由集合的补集求解参数的方法 1．如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定义并结合相关知识求解． 2．如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴求解． 即时练4.设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________． 解析：因为U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，又A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0，－m}，故m＝－3. 答案：－3 即时练5.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，求实数m的取值范围． 解析：因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，所以∁UA＝{x|－2<x<3}， 因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)． 当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7， 所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B． 当B≠∅时，则无解． 故实数m的取值范围是{m|m≥6}． 1．(2022·北京卷改编) 已知全集U＝{－3<x<3}，集合A＝{－2<x≤1}，则∁UA＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|－3<x<－2或1≤x<3} C．{x|－2≤x<1} D．{x|－3<x≤－2或1<x<3} D　[由补集定义可知：∁UA＝{x|－3<x≤－2或1<x<3}．故选D．] 2．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M A　[由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误．故选A．] 3．已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝______________． 解析：分别在数轴上表示两集合，如图， 则由补集的定义可知， ∁UA＝{x|0<x<2或x≥6}． 答案：{x|0<x<2或x≥6} 4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B． 解析：把集合A，B在数轴上表示如图． 由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 课时精练(五)　全集、补集及综合应用 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3} D　[由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．故选D．] 2．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)等于(　　) A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅ A　[因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以∁UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁UB)＝{3}．故选A．] 3．(2023·湖南衡阳高一质检)(多选)能正确表示图中阴影部分的是(　　) A．B∩(∁UA) B．A∩(∁UB) C．∁(A∪B)A D．∁B(A∩B) ACD　[由韦恩图知，选项A，C，D表示的阴影部分正确．故选ACD．] 4．(多选)下列选项可以推出A⊆B的是(　　) A．A∩B＝A B．A∩∁UB＝∅ C．A∪B＝A D．B⊆∁UA AB　[由集合关系中“交小并大”原则知A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝A⇒B⊆A，故A可以推出，而C不可以推出；当A∩∁UB＝∅时，如图(1)所示，A⊆B；当B⊆∁UA时，如图(2)所示，A∩B＝∅，故B可以推出，D不可以推出．故选AB．] 5．设U＝{x|1<x≤5}，A＝{x|2≤x＜4}，则∁UA＝________． 解析：因为A＝{x|2≤x<4}，所以∁UA＝{x|1<x<2或4≤x≤5}． 答案：{x|1<x<2或4≤x≤5} 6．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________． 解析：因为A＝{x|1≤x<a}，∁UA＝{x|2≤x≤5}，所以A∪(∁UA)＝U＝{x|1≤x≤5}， 且A∩(∁UA)＝∅，所以a＝2. 答案：2 7．已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|－3≤x≤2}． 求：A∩B；(∁UA)∪B；A∩(∁UB)；(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∩B)． 解析：因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， 所以A∩B＝{x|－2<x≤2}，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}， 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， (∁UA)∪(∁UB)＝{x|x≤－2或2<x≤4}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}． [技能提升] 8．如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x<3}，B＝{y|y>2}，则A*B＝(　　) A．{x|x>3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2<x<3} D．{x|x≥3} D　[由韦恩图可得A*B＝∁B(A∩B)， 因为A＝{x|0≤x<3}，B＝{y|y>2}， 所以A∩B＝{x|2<x<3}， 所以∁B(A∩B)＝{x|x≥3}．故选D．] 9．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% C　[设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C．] 10．已知全集为R，集合A＝{x|2<x<6}，B＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是________________． 解析：由题可知∁RB＝{x|x<a－4或x>a＋4}．因为A⊆∁RB，所以6≤a－4或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2. 答案：{a|a≤－2或a≥10} 11．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k<2}，且B∩(∁UA)≠∅，则实数k的取值范围是________． 解析：由题意得∁UA＝{x|1<x<3}， 又B∩(∁UA)≠∅，结合图形可知， 解得0<k<2， 所以实数k的取值范围是{k|0<k<2}． 答案：{k|0<k<2} 12．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}． (1)若a＝1，求A∪B； 解析：(1)当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}． (2)在①∁RA⊆∁RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．(注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) 解析：(2)选条件①， 因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}， 所以∁RA＝{x|x<－1或x>2}， ∁RB＝{x|x<a或x>a＋2}， 若∁RA⊆∁RB，则解得－1≤a≤0， 所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． 选条件②，因为A∪B＝A，所以B⊆A， 所以解得－1≤a≤0， 所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． 选条件③，因为A∩B＝B，所以B⊆A， 所以解得－1≤a≤0， 所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． [迁移创新] 13．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}． 若B⊆∁RA，则实数m的取值范围为___________. 解析：∁RA＝{x|x≤－1或x>3}， 当B＝∅，即m≥1＋3m时，得m≤－，满足B⊆∁RA；当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立， 即或解得m>3， 综上所述，实数m的取值范围是m>3或m≤－. 答案：m>3或m≤－ 14．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B的差集，记作A－B．例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}． 据此，回答以下问题： (1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁UA； (2)在图中，分别用阴影表示集合A－B； (3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？ 解析：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，∁UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}． (2)阴影部分如下图所示． (3)若A－B＝∅，则A⊆B． 学生用书第15页 学科网（北京）股份有限公司 $$