1.3 第1课时 集合的并集与交集运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1.3　集合的基本运算 第1课时　集合的并集与交集运算 [学习目标]　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．　2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算． 知识点一　并集 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，我们用集合A表示第一次进货的品种，用集合B表示第二次进货的品种，通过观察，你能用集合C表示两次一共进货的品种吗？并讨论集合A，集合B与集合C的关系． 提示：A＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水}，B＝{圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面}，则C＝{圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，铅笔，火腿肠}，容易发现集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的． 1．并集 2．并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A． [微提醒]　(1)A∪B仍是一个集合，A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成． (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．可用图形表示． (链接教材P10例1、例2)(1)已知集合A＝{－1，1，3，5}，B＝{0，1，3，4，6}，则A∪B＝________________． 解析：(1)A∪B表示属于A或属于B的元素组成的集合，故A∪B＝{－1，0，1，3，4，5，6}． 答案：(1){－1，0，1，3，4，5，6} (2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝______________． 解析：(2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}． 答案：(2){x|x<－5或x>－3} 方法技巧 求两个集合并集的方法 1．若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． 2．若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否包括端点值． 即时练1.若集合A＝{x|0<x<}，B＝{x|1≤x<2}，则A∪B＝(　　) A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{x|0≤x≤} D．{x|0<x<2} D　[将集合A，B表示在数轴上，如图，由数轴可知A∪B＝{x|0<x<2}．故选D．] 即时练2.(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是(　　) A．{5} B．{1，5} C．{1，3} D．{1，3，5} ABD　[由{1，3}∪A＝{1，3，5}，知A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5，故选ABD．] 学生用书第11页 知识点二　交集 请同学们再观察下列三组集合： (1)A＝{2，3，4，8，9}，B＝{1，5，8，12}，C＝{8}； (2)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}． 集合A，B与集合C之间有什么关系？ 提示：集合C中的元素是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的． 1．交集 2．交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B． [微提醒]　(1)A∩B仍是一个集合，A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素，同时A与B的公共元素都属于A∩B． (2)“且”字的意义：A∩B中的元素既属于A，又属于B． (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. (链接教材P11例3)(1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2，0，1，2}，则A∩B＝________． 解析：(1)易知A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，又B＝{－2，0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}． 答案：(1){0，1}　 (2)已知集合M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|－2<x<1}，则M∩N＝________． 解析：(2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示． 由图知M∩N＝{x|－1<x<1}． 答案：(2){x|－1<x<1} 方法技巧 求两个集合交集的方法 1．对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． 2．对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 即时练3.若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} A　[易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A．] 即时练4.若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________________. 解析：如图，借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}． 答案：R　{x|4≤x<5} 根据并集与交集运算求参数范围 已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．3≤a<4 B．－1<a<4 C．a≤－1 D．a<－1 C　[利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.故选C．] [变式探究]　1．(变条件)将本例中“A∪B＝R”变成“A∪B＝A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解析：当a≥4时，集合B为空集，满足题意；当a<4时，若要满足A∪B＝A，必有a≥3. 综上，实数a的取值范围是a≥3. 学生用书第12页 2．(变条件)将本例中集合B变为“B＝{x|a<x≤4－a}”，且“A∪B＝R”变为“A∩B＝∅”，求实数a的取值范围． 解析：当a≥4－a，即a≥2时，集合B为空集，满足题意；当a<2时，则有a≥－1且4－a<3，故有1<a<2.综上，实数a的取值范围是a>1. 方法技巧 利用集合间的关系求参数范围的一般步骤 第一步：若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； 第二步：将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围； 第三步：解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． 即时练5.设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}．若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________． 解析：由M∩N＝N，得N⊆M. 故当N＝∅，即2t＋1≤2－t，即t≤时，M∩N＝N成立； 当N≠∅时，由图得 解得<t≤2. 综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}． 答案：{t|t≤2} 1．(2022·浙江卷) 设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　) A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6} D　[A∪B＝.故选D．] 2．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) A． B． C． D． D　[M＝{x|0≤x<16}，N＝{x|x≥}，故M∩N＝.故选D．] 3．已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝________． 解析：因为M∩N＝{2}，所以2∈M，而M＝{0，x}， 则x＝2，所以M＝{0，2}， 所以M∪N＝{0，1，2}． 答案：{0，1，2} 4．已知集合A＝{x|m－2<x<m＋1}，B＝{x|1<x<5}． (1)若m＝1，求A∪B； (2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围． 解析：(1)由m＝1，得A＝{x|－1<x<2}， 所以A∪B＝{x|－1<x<5}． (2)由A∩B＝A，可知A⊆B， 于是应满足 解得3≤m≤4， 故所求实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}． 课时精练(四)　集合的并集与交集运算 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．(2023·广东深圳高三一模)已知集合A＝{x|－12<4x<8}，B＝，则A∩B＝(　　) A．{x|－3<x<0} B．{x|－3<x<2} C．{x|1<x<2} D．{x|－3<x<0或1<x<2} D　[因为A＝{x|－3<x<2}，B＝{x|<1}＝{x|x<0或x>1}，所以A∩B＝{－3<x<0或1<x<2}．故选D．] 2．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于(　　) A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5} B　[(A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩C＝{1，2，4}．故选B．] 3．(多选)已知集合A＝{3，1，2}，B＝{1，a}，若A∩B＝B，则实数a的取值可以是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 AB　[因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a＝2或3，即实数a的取值可以是2或3.故选AB．] 4．(多选)集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 CD　[因为M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，所以M∩N＝{1，3}，故选CD．] 5．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝______________． 解析：因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{x|3≤x<5}． 答案：{x|3≤x<5} 6．已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________． 解析：由已知得，B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A∪B中元素的个数为6. 答案：6 7．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}． (1)求a，b的值及A，B； (2)求(A∪B)∩C． 解析：(1)因为A∩B＝{2}，所以2∈A，且2∈B，故4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0， 即a＝－8，b＝－5， 所以A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}． (2)因为A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，所以(A∪B)∩C＝{2}． [技能提升] 8．已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　[由解得或因此M∩N中的元素个数为2，故选C．] 9．(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．M⊆(M∩N) D．(M∪N)⊆N ABCD　[因为集合M⊆N，所以M∩N＝M，故A正确；M∪N＝N，故B正确；M⊆(M∩N)，故C正确；(M∪N)⊆N，故D正确．故选ABCD．] 10．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________． 解析：因为A∩B＝{－2}， 所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，所以A＝{1，－2}， 因为A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，所以B＝{－2，5}， 所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10， 所以p＋q＋r＝－14. 答案：－14 11．设集合M＝{x|－4<x<3}，N＝{x|t＋2<x<2t－1，t∈R}．若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________． 解析：由M∩N＝N，得N⊆M. 故当N＝∅，即t＋2≥2t－1，即t≤3时，M∩N＝N成立； 当N≠∅时，由图得无解． 综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}． 答案：{t|t≤3} 12．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}． (1)若A∩B≠∅，求a的取值范围； 解析：(1)A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∩B≠∅，如图1所示． 所以数轴上点x＝a在点x＝－1右侧，且不包含点x＝－1， 所以a的取值范围为{a|a>－1}． (2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围． 解析：(2)A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}， 且A∪B＝{x|x<1}，如图2所示． 所以数轴上点x＝a在点x＝－1和点x＝1之间，不包含点x＝－1，但包含点x＝1.所以a的取值范围为{a|－1<a≤1}． [迁移创新] 13．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店 (1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示． 由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)． (2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(种)． 由于所以0≤y≤14. 所以(43－y)min＝43－14＝29. 答案：(1)16　(2)29 14．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B． 解析：由题意，得7∈A，7∈B且－1∈B， 所以在集合A中x2－x＋1＝7，解得x＝－2或x＝3. 当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2， 又2∈A，故2∈(A∩B)＝C， 但2∉C，故x＝－2不符合题意，舍去． 当x＝3时，在集合B中，x＋4＝7， 所以2y＝－1，解得y＝－，符合题意， 所以A＝{2，－1，7}，B＝{－1，－4，7}， 所以A∪B＝{2，－1，7，－4}． 学科网（北京）股份有限公司 $$