1.2 集合间的基本关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系 [学习目标]　1.在具体情境中，了解空集的含义．　2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点一　子集的概念 观察下面的几个例子： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)A＝{高一年级的女生}，B＝{高一年级的全体学生}； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． 请回答以下问题： 1．上述实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？ 提示：都是． 2．实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：都是． 1．子集 文字叙述 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 符号表示 记作：A⊆B(或B⊇A)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”) Venn图表示 [微提醒]　“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若A⊆B，则由x∈A，能推出x∈B． 2．集合相等 文字叙述 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 符号表示 若A⊆B且B⊆A，则A＝B Venn图表示 [微提醒]　集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； 解析：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； 解析：(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B． (3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； 解析：(3)正方形是特殊的矩形，故A⊆B． (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解析：(4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 方法技巧 判断集合间关系的常用方法 即时练1.已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　　) A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．C⊆A⊆B D．A＝B⊆C B　[集合A，B，C的关系如图．] 学生用书第8页 知识点二　真子集 　通过学习子集的概念我们发现，一个非空集合的子集有好多个，你能对它们进行分类吗？ 提示：对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集． 1．真子集 文字叙述 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 符号表示 记作：AB或BA 读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”) Venn图表示 [微提醒]　A是B的真子集的含义：A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A． 2．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A． (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC． 3．空集 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特征 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)若A≠∅，则∅A 写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 解析：子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}， 其中真子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． 方法技巧 求元素个数有限的集合子集的两个关注点 1．要注意两个特殊的子集：∅和自身． 2．按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 即时练2.满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个． 解析：由{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有五个元素：{1，2，3，4，5}． 故满足题意的集合M共有7个． 答案：7 由集合间的关系求参数范围 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 解析：因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则解得2≤m≤3.所以m的取值范围为{m|2≤m≤3}． [变式探究]　(变条件)若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 解析：因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 所以解得即2≤m<3， 所以m的取值范围是{m|2≤m<3}． 学生用书第9页 方法技巧 利用集合间的关系求参数的关注点 1．分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合． 2．此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心圈表示． 3．此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 即时练3.已知集合A＝{x|x>4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解析：因为B≠∅，根据题意作出如图所示的数轴， 则解得2<a≤3. 所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}． 1．以下式子中，错误的个数为(　　) ①{1}∈{0，1，2}； ②{1，－3}＝{－3，1}； ③{0，1，2}⊆{1，0，2}； ④∅∈{0，1，2}； ⑤∅∈{0}． A．5 B．2 C．3 D．4 C　[①应是{1}⊆{0，1，2}．对于②，集合中的元素有无序性，故②正确．③任何集合都是本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，正确．④应是∅⊆{0，1，2}．⑤应是∅⊆{0}．故错误的有①④⑤.故选C．] 2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(　　) A．{2，4，5} B．{1，2，5} C．{1，6} D．{1，3} D　[由题图可知B⊆A．由A＝{1，2，3}，结合选项可知{1，3}⊆A，故选D．] 3．(多选)若集合A＝{x|x≥1}，则满足B⊆A的集合B可以是(　　) A．{2，3} B．{x|x≥2} C．∅ D．{x|x≥0} ABC　[因为集合A＝{x|x≥1}，且B⊆A，所以结合选项知集合B可以是{2，3}，也可以是{x|x≥2}，也可以是∅.故选ABC．] 4．已知集合A＝{x∈N|－1<x<3}． (1)用列举法表示集合A； 解析：(1)易知A＝{x∈N|－1<x<3}＝{0，1，2}． (2)写出集合A的所有子集． 解析：(2)由(1)知，集合A的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}． 课时精练(三)　集合间的基本关系 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，则两个集合间的关系是(　　) A．M⊆P B．P⊆M C．M＝P D．M，P互不包含 D　[由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含．故选D．] 2．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[由题意知，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．故选D．] 3．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是(　　) A．{1，8} B．{2，3} C．{1} D．{2} AC　[因为A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中的元素是集合B，C的公共元素，结合选项可知A，C满足题意．故选AC．] 4．(多选)集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值为(　　) A．1 B． C．－1 D．－ AD　[由集合有两个子集可知，该集合是单元素集， 当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－.故选AD．] 5．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________． 解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA． 答案：BA 6．组成平面图形的点的集合是P，这个平面图形所在的平面上的所有点组成的集合为Q，那么P与Q的关系是__________． 解析：因为集合P包含的所有元素都在集合Q中，且集合Q包含集合P所不包含的其他元素，所以PQ. 答案：PQ 7．已知集合A＝{1，3，－x2}，B＝{x＋2，1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由． 解析：存在，理由如下：由题意知，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x2，则x2＋x＋2＝0无实根，故不成立．综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}． [技能提升] 8．(2023·山东济南高三一模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为(　　) A．a≤2 B．a≥2 C．a≤0 D．a≥0 A　[由x－2≥0得x≥2，借助数轴(图略)，若A⊆B，则只需a≤2，则实数a的取值范围为a≤2.故选A．] 9．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D．0，1或－1 D　[由题意得，P＝{1，－1}，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q⊆P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0，1或－1.故选D．] 10．已知非空集合P满足：(1)P⊆{1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________． 解析：由a∈P，6－a∈P，且P⊆{1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个． 答案：7 11．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}． (1)若A＝B，则y的值为________； 解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1. 若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3. 综上，y的值为1或3. 答案：(1)1或3　 (2)若A⊆C，则a的取值范围为______________． 解析：(2)因为C＝{x|2<x<5}，A⊆C， 所以所以3<a<5. 答案：(2){a|3<a<5} 12．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； 解析：(1)若AB，由图可知，a>2. 故实数a的取值范围为{a|a>2}． (2)若B⊆A，求a的取值范围． 解析：(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2. 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}． [迁移创新] 13．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．±1 D　[当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1，1}时，不成立．故a＝±1.故选D．] 14．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}． (1)若∅M，求实数a的取值范围； 解析：(1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解， 所以Δ＝22－4×(－a)≥0，解得a≥－1， 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1}． (2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围． 解析：(2)N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N， 所以当M＝∅时，Δ＝22－4×(－a)<0，解得a<－1； 当M≠∅时，当Δ＝0时，a＝－1， 此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意； 当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素， 若M⊆N，则M＝N，从而根据一元二次方程根与系数的关系有无解． 综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}． 学生用书第10页 学科网（北京）股份有限公司 $$