1.1 第1课时 集合的概念-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 [学习目标]　1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系．　2.识记常见数集的表示符号． 知识点一　元素与集合 看下面的几个例子： (1)平面内到定点O的距离等于2的所有的点； (2)方程x2－1＝0的所有实数根； (3)1～10之间的所有偶数； (4)2023级北京大学所有的大一新生； (5)地球上的四大洋． 请回答以下问题： 1．以上各语句中所研究的对象分别是什么？ 提示：以上各语句中所研究的对象分别为平面内到定点O的距离等于2的所有的点的轨迹为圆、±1、2，4，6，8，10、2023级北京大学大一新生、太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋． 2．以上各语句中的研究对象确定吗？研究的对象有相同的吗？ 提示：研究对象确定．研究的对象没有相同的． 1．元素 2．集合 [微提醒]　(1)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义． (2)集合中的元素可以为数、点、图形、人或物等． (多选)以下元素的全体能构成集合的是(　　) A．中国古代四大发明 B．周长为10 cm的三角形 C．方程x2＋2x－3＝0的实数根 D．地球上的小河流 ABC　[在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；在B中，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合；在C中，方程x2＋2x－3＝0的实数根为－3和1，能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合．故选ABC．] 方法技巧 判断一组对象能构成集合的条件 1．能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． 2．任何两个对象都是不同的． 3．对元素出现的顺序没有要求． 即时练1.下列说法中正确的是(　　) A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 C　[A不正确，与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由“title”中的字母构成的元素为t，i，l，e共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合．故选C．] 学生用书第2页 知识点二　集合相等 由元素1，2，3构成的集合为A；由3，2，1构成的集合为B，这两个集合有什么关系呢？如何判断两个集合是否相等？ 提示：A＝B；根据集合的定义和集合中元素的性质，两个集合中的元素完全相同这两个集合就相等，与元素的顺序无关． 集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．若集合A与集合B相等，记作：A＝B． (1)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P＝Q，则a＝________． 解析：(1)由题意得a2＝4，a＝±2. 答案：(1)±2 (2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝________． (2)解析：由题意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1. 答案：(2)1 [变式探究]　(变条件、变问法)若将本例(1)改为“若集合Q中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为________． 解析：由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1. 答案：a≠±1 方法技巧 判断两个集合相等的注意点 1．若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等． 2．注意集合中元素的互异性． 即时练2.已知集合A中的元素为3，4，方程(x－3)(x＋a)＝0的根组成集合B，若A＝B，则a＝(　　) A．3 B．4 C．－3 D．－4 D　[因为集合A中的元素为3，4且A＝B，所以3，4都是集合B中的元素，所以x＝3和x＝4为方程(x－3)(x＋a)＝0的两个实数根，所以a＝－4.故选D．] 即时练3.已知集合A中的元素为1，x，y，集合B中的元素为1，x2，2y，若A＝B，则x－y＝(　　) A．2 B．1 C． D． C　[若A＝B，则或解得或或 由集合中元素的互异性，得则x－y＝－＝.故选C．] 知识点三　元素与集合的关系 如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？ 提示：是男生就去，不是男生就不去． 1．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 2．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R [微提醒]　(1)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．(2)0属于自然数集． (1)下列结论中，不正确的是(　　) A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则a3∈R 解析：(1)A中当a＝0时，显然不成立． 答案：(1)A　 (2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1＋________B．(用符号“∈”或“∉”填空) 解析：(2)因为2＝>，所以2∉B， 因为(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11， 所以1＋<，所以1＋∈B． 答案：(2)∉　∈ 方法技巧 判断元素和集合关系的方法 1．直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可． 2．推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 学生用书第3页 即时练4.用符号“∈”或“∉”填空： 0____N；－3____N；0.5____Z；____Z；____Q；π____R. 答案：∈　∉　∉　∉　∈　∈　 即时练5.已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为________． 解析：因为2∈A，所以2×2＋a>0，即a＞－4. 答案：a＞－4 集合中元素的特性及应用 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 解析：由题意可知，a＝1或a2＝a， 若a＝1，则a2＝1， 这与a2≠1矛盾，故a≠1. 若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)， 当a＝0时，A中含有元素1和0，符合题意． 综上可知，实数a的值为0. 方法技巧 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 即时练6.已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值． 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素1，所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1. 1．(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　) A．接近于1的所有正整数 B．小于0的实数 C．(2 023，1)与(1，2 023) D．未来世界的高科技产品 BC　[A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 023，1)与(1，2 023)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．故选BC．] 2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是(　　) A．∈M B．0∉M C．1∈M D．－∈M D　[>1，故A错；－2<0<1，故B错；1∉M，故C错；－2<－<1，故D正确．] 3．设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝________，y＝________． 解析：由题意得或 即或又当x＝y＝0时，不满足集合中元素的互异性，所以x＝1，y＝0. 答案：1　0 4．设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合． (1)0是不是集合A中的元素？ 解析：(1)将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素． (2)若－5∈A，求实数a的值． 解析：(2)若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0， 解得a＝－4. 课时精练(一)　集合的概念 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．下列说法正确的是(　　) A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素 C　[A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．故选C．] 2．下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 A　[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A．] 3．(多选)集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a的值为(　　) A．2 B．－2 C．4 D．6 AC　[若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A．故选AC．] 4．(多选)下列说法正确的是(　　) A．N*中最小的数是1 B．若－a∉N*，则a∈N* C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 AC　[因为N*表示正整数集，容易判断A，C正确；对于B，若a＝，则满足－a∉N*，但a∉N*，B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以解集中只有1个元素，D错误．故选AC．] 5．设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1，5)与集合P的关系是____________，点(2，6)与集合P的关系是____________． 解析：点(1，5)在直线y＝2x＋3上，点(2，6)不在直线y＝2x＋3上． 答案：(1，5)∈P　(2，6)∉P 6．若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 022＋b2 022的值为________． 解析：由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以＝0，所以b＝0， 所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以a＝－1.所以a2 022＋b2 022＝1. 答案：1 7．判断下列元素的全体是否能组成集合，并说明理由． (1)平面上到∠AOB两边等距离的点； (2)高中学生中的灌篮高手． 解析：(1)到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的角平分线上，故元素是明确的，可以组成集合． (2)对于灌篮高手，概念模糊，无法明确界定，故不能组成集合． [技能提升] 8．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．0∈M B．－1∈M C．3∉M D．1∈M B　[当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．] 9．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B C　[集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C．] 10．已知集合A中元素满足2x－a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为____________． 解析：因为1∉A，2∈A， 所以即2≤a<4. 答案：2≤a<4 11．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素． 解析：方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素． 答案：3 12．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R. (1)若－3∈A，试求实数a的值； 解析：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或－1. (2)若a∈A，试求实数a的值． 解析：(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1. 当a＝a－3时，有0＝－3，不成立； 当a＝2a－1时，有a＝1， 此时A中有两个元素－2，1，符合题意． 综上，实数a的值为1. [迁移创新] 13．设集合A含有－2，1两个元素，B含有－1，2两个元素，定义集合A⊙B，满足x1∈A，x2∈B，且x1x2∈A⊙B，则A⊙B中所有元素之积为(　　) A．－8 B．－16 C．8 D．16 C　[集合A⊙B中有2，－4，－1三个元素，故所有元素之积为8.故选C．] 14．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．求证： (1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； 证明：(1)由题意知若a∈A，则∈A． 又因为2∈A，所以＝－1∈A． 因为－1∈A，所以＝∈A． 因为∈A，所以＝2∈A． 所以A中必还有另外两个元素－1，. (2)集合A不可能是单元素集． 证明：(2)若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠，所以集合A不可能是单元素集． 学生用书第4页 学科网（北京）股份有限公司 $$