1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　全集、补集及综合应用 　 第 一 章 1.3　集合的基本运算 学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示．　 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．　 3. 会用Venn图、数轴进行集合的综合运算． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　全集与补集 内 容 索 引 知识点　全集与补集 索引 U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}． 请回答以下问题： 1．集合U，A，B三者有何关系？ 提示：U＝A∪B． 2．集合B中元素与U和A有何关系？ 提示：B中元素都在U中， 但都不在A中． 问题导思 1．全集 (1)概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的__________，那么就称这个集合为全集． (2)记法：通常记作____． 新知形成 所有元素 U 2．补集 不属于 U U A ∅ (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 微提醒 　　　(1)(链接教材P13例5)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则∁UA＝ A．{1，3} B．{1，3，6} C．{2，3，6} D．{2，3，5} √ 因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，所以∁UA＝{1，3，6}．故选B． 例1 (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝_____________. 将集合U和集合A分别表示在数轴上， 如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． {x|x<－3或x＝5} 两种求补集的方法 1．若所有的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍． 2．若所给的集合是用列举法表示，则常用Venn图求解． 方法技巧 即时练1. (2022·全国甲卷) 设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝ A．{1，3} B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0} √ 即时练2.若集合A＝{x|－1≤x<1}，当U分别取下列集合时，求∁UA． (1)U＝R； 把集合A表示在数轴上，如图所示．又U＝R， 由图知∁UA＝{x|x<－1或x≥1}． (2)U＝{x|x≤2}； 把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|x<－1或1≤x≤2}． (3)U＝{x|－4≤x≤1}． 把集合U和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁UA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}． 索引 综　合　应　用 索引 应用一　集合交、并、补的综合运算 　　 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)． 如图所示． 因为A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， 所以∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}， A∪B＝{x|－3≤x<3}． 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}． 例2 解决集合交、并、补运算的技巧 1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． 2．如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 方法技巧 即时练3.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是 A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4} 图中阴影部分表示的集合在集合A但不含集合B中的元素，故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB)．因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，3}，所以∁UB＝{4，5}．因为A＝{2，4}，所以A∩(∁UB)＝{4}．故选A． √ 应用二　与补集有关的参数范围问题 　　 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示集合B，∁UA如图． 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是m≥2. 例3 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2. 1．(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ 由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅， 所以－m>－2，解得m<2. 故m的取值范围为{m|m<2}． 变式探究 2．(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ 由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R， 所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为{m|m≥2}． 由集合的补集求解参数的方法 1．如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定义并结合相关知识求解． 2．如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴求解． 方法技巧 即时练4.设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________． 因为U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，又A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0，－m}，故m＝－3. －3 即时练5.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁UA)∩B＝B，求实数m的取值范围． 因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，所以∁UA＝{x|－2<x<3}， 因为(∁UA)∩B＝B，所以B⊆(∁UA)． 当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7， 所以m≥6，满足(∁UA)∩B＝B． 故实数m的取值范围是{m|m≥6}． 索引 索引 则∁UA＝ A．{x|－2<x≤1} B．{x|－3<x<－2或1≤x<3} C．{x|－2≤x<1} D．{x|－3<x≤－2或1<x<3} 由补集定义可知：∁UA＝{x|－3<x≤－2或1<x<3}．故选D． √ 2．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则 A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误．故选A． √ 3．已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝_______________． 分别在数轴上示两集合，如图， 则由补集的定义可知， ∁UA＝{x|0<x<2或x≥6}． {x|0<x<2或x≥6} 4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B． 把集合A，B在数轴上表示如图． 由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}， 所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}． 索引 课　时　精　练 索引 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为 A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3} 由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．故选D． 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)等于 A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅ 因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以∁UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁UB)＝{3}．故选A． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．(2023·湖南衡阳高一质检)(多选)能正确表示图中阴影部分的是 A．B∩(∁UA) B．A∩(∁UB) C．∁(A∪B)A D．∁B(A∩B) 由韦恩图知，选项A，C，D表示的阴影部分正确．故选ACD． √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4．(多选)下列选项可以推出A⊆B的是 A．A∩B＝A B．A∩∁UB＝∅ C．A∪B＝A D．B⊆∁UA √ √ 由集合关系中“交小并大”原则知A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝A⇒B⊆A，故A可以推出，而C不可以推出；当A∩∁UB＝∅时，如图(1)所示，A⊆B；当B⊆∁UA时，如图(2)所示，A∩B＝∅，故B可以推出，D不可以推出．故选AB． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5．设U＝{x|1<x≤5}，A＝{x|2≤x＜4}，则∁UA＝___________________． 因为A＝{x|2≤x<4}，所以∁UA＝{x|1<x<2或4≤x≤5}． {x|1<x<2或4≤x≤5} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝____． 因为A＝{x|1≤x<a}，∁UA＝{x|2≤x≤5}，所以A∪(∁UA)＝U＝{x|1≤x≤5}， 且A∩(∁UA)＝∅，所以a＝2. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7．已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|－3≤x≤2}． 求：A∩B；(∁UA)∪B；A∩(∁UB)；(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∩B)． 因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， 所以A∩B＝{x|－2<x≤2}，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}， 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， (∁UA)∪(∁UB)＝{x|x≤－2或2<x≤4}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 8．如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x<3}，B＝{y|y>2}，则A*B＝ A．{x|x>3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2<x<3} D．{x|x≥3} 由韦恩图可得A*B＝∁B(A∩B)， 因为A＝{x|0≤x<3}，B＝{y|y>2}， 所以A∩B＝{x|2<x<3}， 所以∁B(A∩B)＝{x|x≥3}．故选D． 技能提升 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A．62% B．56% C．46% D．42% 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10．已知全集为R，集合A＝{x|2<x<6}，B＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是____________________． 由题可知∁RB＝{x|x<a－4或x>a＋4}．因为A⊆∁RB，所以6≤a－4或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2. {a|a≤－2或a≥10} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k<2}，且B∩(∁UA)≠∅，则实数k的取值范围是__________． 由题意得∁UA＝{x|1<x<3}， 又B∩(∁UA)≠∅，结合图形可知， 所以实数k的取值范围是{k|0<k<2}． {k|0<k<2} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}． (1)若a＝1，求A∪B； 当a＝1时，B＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}． (2)在①∁RA⊆∁RB，②A∪B＝A，③A∩B＝B，这三个条件中任选一个作为条件，求实数a的取值范围．(注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) 选条件①， 因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}， 所以∁RA＝{x|x<－1或x>2}， ∁RB＝{x|x<a或x>a＋2}， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． 选条件②，因为A∪B＝A，所以B⊆A， 所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． 选条件③，因为A∩B＝B，所以B⊆A， 所以实数a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．若B⊆∁RA，则实数m的取值范围为_______________. 迁移创新 ∁RA＝{x|x≤－1或x>3}， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 14．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B的差集，记作A－B．例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}． 据此，回答以下问题： (1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁UA； U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，∁UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (2)在图中，分别用阴影表示集合A－B； 阴影部分如下图所示． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？ 若A－B＝∅，则A⊆B． 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 ∁UA {x|x∈U，且x∉A} 所以∁U＝.故选D． 由题意，B＝＝， 所以A∪B＝， 当B≠∅时，则无解． 1．(2022·北京卷改编) 已知全集U＝{－3<x<3}，集合A＝{－2<x≤1}， 解得0<k<2， 所以解得－1≤a≤0， 若∁RA⊆∁RB，则解得－1≤a≤0， 所以解得－1≤a≤0， 即或解得m>3， 综上所述，实数m的取值范围是m>3或m≤－. m>3或m≤－ 当B＝∅，即m≥1＋3m时，得m≤－，满足B⊆∁RA；当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立， $$