1.1 第2课时 集合的表示-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　集合的表示 　 第 一 章 1.1　集合的概念 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法．　 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合． 课 时 精 练 知识点二　描述法 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　列举法 内 容 索 引 知识点一　列举法 索引 若集合M是小于5的自然数构成的集合，集合M中的元素能一一列举出来吗？ 提示：能.0，1，2，3，4. 问题导思 　　列举法：把集合的所有元素__________出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做________． 新知形成 一一列举 列举法 (1)元素间用“，”隔开． (2)集合中的元素是确定的，元素不重复，且无顺序． (3)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可． (4)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5…}． (5)集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼． 微提醒 　　　 (链接教材P3例1)用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； 因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}． 例1 (2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合； 方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}． 将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合． 用列举法表示集合的三个步骤 第一步：求出集合的元素． 第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． 第三步：用花括号括起来． [提醒]　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}． 方法技巧 即时练1.用列举法表示下列集合： (1)所有大于2且小于5的整数组成的集合； {3，4}． (2)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集； 由(x－2)2＋(y＋3)2＝0得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3， 所以集合为{(2，－3)}． (3)A＝{y|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}． 由|x|≤2，x∈Z得x为－2，－1，0，1，2. 当x＝2或－2时，y＝3；当x＝1或－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1.所以集合A＝{3，0，－1}． 索引 知识点二　描述法 索引 请回答以下问题： 1．你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？ 提示：不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}． 问题导思 2．仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？ 提示：{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． 描述法 (1)定义：设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为____________，这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线，写成_______________或______________. (2)一般格式： 新知形成 {x∈A|P(x)} {x∈A：P(x)} {x∈A；P(x)} (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应将“m∈N＋”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N＋}． 微提醒 (5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． (6)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}． (7)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯的错误，要注意领会． 微提醒 　　　 (链接教材P4例2)用描述法表示下列集合： (1)比1大且比10小的实数组成的集合； 可以表示成{x∈R|1<x<10}． 例2 (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D． 易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D＝{(x，y)|x<0，且y>0}． 描述法表示集合的2个步骤 方法技巧 即时练2.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x|－3<x<11，x∈Z} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．故选D． √ 即时练3.选择适当的方法表示下列集合： (1)所有奇数组成的集合； {x|x＝2n－1，n∈Z}． 关键是根据绝对值的意义化简，设x＝ ，当a>0，b>0时，x＝2；当a<0，b<0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2，0，2}． (3)不等式2x－3<5的解组成的集合． 不等式2x－3<5的解x<4组成的集合可用描述法表示为{x|x<4}． 索引 综　合　应　用 索引 应用一　方程与集合 　　　若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个相等的实根． 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 例3 1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 解得k<1，且k≠0. 变式探究 2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围． ①当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解， 综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}． 集合与方程的综合问题的解题思路 1．弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． 2．当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． 3．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性． 方法技巧 应用二　集合的新定义问题 　　　定义集合A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．若A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为 A．0 B．2 C．3 D．6 根据题意，A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的元素可能为0，2，0，4，又由集合中元素的互异性，得A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6.故选D． √ 例4 　　新定义问题就是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关问题．新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，如“A*B”“A－B”等． 方法技巧 即时练4.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 A．3 B．6 C．8 D．10 由题意可得集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含有10个元素．故选D． √ 索引 索引 1．用列举法表示集合{x∈N|x－3<2}，正确的是 A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5} C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4} 解不等式得x<5，又x∈N，所以x是小于5的自然数，所以表示为{0，1，2，3，4}．故选D． √ √ 3．(多选)下面四个说法正确的是 A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C．方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合 10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A说法正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，1，2}相等，且都可以表示由1，2，3组成的集合，故B说法正确；方程x2－2x＋1＝0的解集应为{1}，故C说法错误；由集合的表示方法知“0”不是集合，故D说法错误．故选AB． √ √ 4．用符号“∈”或“∉”填空： (1)A＝{x|x2－x＝0}，则1______A，－1______A； 易知A＝{0，1}，故1∈A，－1∉A； ∈ ∉ (2)(1，2)________{(x，y)|y＝x＋1}． 将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，等式成立，故(1，2)∈{(x，y)|y＝x＋1}． ∈ 5．用列举法表示集合D＝{(x，y)|y＝－x2＋8，x∈N，y∈N}为________________________． 由已知得集合D为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列举可得答案． 索引 {(0，8)，(1，7)，(2，4)} 课　时　精　练 索引 1．把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为 A．{x＝－1，x＝5} B．{x|x＝－1或x＝5} C．{x2－4x－5＝0} D．{－1，5} 根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1，5}．故选D． 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．下列集合中表示同一集合的是 A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3．(多选)下列说法中正确的是 A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 D．{1，2}与{2，1}是同一个集合 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4．(多选)下列说法错误的是 A．在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0} B．方程x2－4＝0的解集为{(－2，2)} C．集合{(x，y)|y＝3x＋1}与{x|y＝3x＋1}是相等的 D．若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 平面直角坐标系内第一、三象限的点的集合，故A正确．对于选项B，方程x2－4＝0的解集为{2，－2}，故B错误．对于选项C，集合{(x，y)|y＝3x＋1}表示直线y＝3x＋1上的点，集合{x|y＝3x＋1}表示函数y＝3x＋1中x的取值范围，故集合{(x，y)|y＝3x＋1}与{x|y＝3x＋1}不相等，故C错误．对于选项D，A＝{x∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－1.1∉A，故D错误．故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 5．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为_________________________． 因为2x＋3y＝16，所以3y＝16－2x＝2(8－x)，且x，y∈N，所以y为偶数且0≤y≤5.当y＝4时，x＝2；当y＝2时，x＝5；当y＝0时，x＝8. {(2，4)，(5，2)，(8，0)} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 6．若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素，则实数k的值为________． 集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个实根或有两个相等实根，当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个实根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若集合只有一个元素，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1. 0或1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7．选择适当的方法表示下列集合． (1)绝对值不大于3的整数组成的集合； 绝对值不大于3的整数有－3，－2，－1，0，1，2，3，共7个，用列举法表示为{－3，－2，－1，0，1，2，3}． (2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 (3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合； 一次函数y＝x＋6图象上有无数个点， 用描述法表示为{(x，y)|y＝x＋6}． (4)满足方程x＝|x|，x∈Z的所有x的值构成的集合． 用描述法表示为{x|x＝|x|，x∈Z}． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 技能提升 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 9．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，则集合A⊙B的所有元素的平均数为 A．14 B．15 C．16 D．17 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 根据题意，A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，且集合A＝{0，3}，B＝{1，2}， 当x＝0，y＝1或2时，都有z＝0， 当x＝3，y＝1时，都有z＝3×1×(1＋3)＝12， 当x＝3，y＝2时，都有z＝3×2×(2＋3)＝30， 则A⊙B＝{0，12，30}， 故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 10．若实数a满足a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为________________. 因为实数a满足a2∈{1，4，a}， 所以a2＝1或a2＝4或a2＝a， 解得a＝－1或a＝1或a＝－2或a＝2或a＝0. 当a＝1时，集合为{1，4，1}，不符合题意； 当a＝－1或a＝±2或a＝0时，符合题意． 所以实数a的取值集合为{－1，－2，2，0}． {－1，－2，2，0} 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 11．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出 一个含三个元素的可倒数集_____________________． 不是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 12．下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ 它们是互不相同的集合． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R； 集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1. 集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是抛物线y＝x2＋1上的点． (2)它们各自的含义分别是什么？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 13．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是 A．18 B．17 C．16 D．15 迁移创新 因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个．故选B． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合． 所以A＝{1，7，9}，B＝{1，3，9}． 所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}． 索引 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 ＋ (2)由＋(a，b∈R)所确定的实数集合； 由题意得 即解得k>1. 2．对集合用描述法来表示，其中正确的一个是 A． B． C． D． A，B中x可以表示负数，C中没有元素.故选D． C．∈{x|x<2} {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}, >，所以∉{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．故选AD． 对于选项A，因为xy>0，所以或所以集合{(x，y)|xy>0}表示 方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是x1＝，x2＝－2，用列举法表示为. 8．(多选)下面用集合表示方程组的解集，正确的是 A．(－1，2) B． C．{－1，2} D．{(－1，2)} 解得二元方程组的解集以点集的形式表示，故选BD． 其平均数为＝14， (答案不唯一) 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A．若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等． 14．已知集合A＝{x∈N|∈N}，B＝{∈N|x∈N}，试问集合A与 对于集合A，B，因为x∈N，∈N，所以当x＝1时，＝1； 当x＝7时，＝3；当x＝9时，＝9. $$