关于向量乘法和除法的探索专题讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

关于向量乘法和除法的探索 刘海刚 复数的几何意义体现在两个方面：其一，复数与复平面内的点之间的一一对应；其二，是复数与从原点出发的向量之间的一一对应。 这种对应关系沿用到运算领域就不怎么完美了。 无论复数的加法、还是减法都能和向量的加法和减法完美对应，复数和实数的乘法也可以和数乘向量完美对应。但是虚数与虚数的乘法与向量的运算就无法完美对应了。 复数与复数的乘积是复数而不一定是实数，但向量的数量积是实数，因而不能很好对应。两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。但我们知道两个复数的乘积是一个复数，和作为乘数的两个复数处在同一个复平面内。因此向量的矢量积也不足担当描述复数乘法的重任。 于是我们只能另辟新径，构造一个全新的向量乘法来描述复数的乘法，并进而引申出向量除法，进一步描述复数的除法。也就是说我们要打破向量只有乘法，而没有除法的现状。 我们知道复数的乘法与除法可以用三角形式进行，就可以用向量解释了。因此我们不妨重新定义一种向量的乘法，在这种乘法下可以实现复数乘法与向量乘法的对应，并且自然得到向量的除法，使之与复数的除法相对应。 一、向量乘法定义： 1.向量的模与辐角：如图，设向量的起点在原点，终点为，则。对于非零向量定义辐 角为以x轴的正半轴为始边，射线OA为终边的一个角。特别地，0的辐角任意。 2.向量的乘法： 设非零向量的辐角分别为A,B，定义为一个向量： （1）；（2）的辅角等于。（3）. 根据定义，可知向量的乘法运算满足： ①交换律，即：②结合律, 即。 另外，在沿用向量加法、和减法定义的前提下，向量乘法对加法、减法还满足分配律，即③。 在此定义下复数的乘法与向量的乘法就实现了完美对应。 复数，，则。对应的向量为，其模，辐角为；对应的向量为，其模，辐角为。于是的模为， 辐角为。对应复数2. 复数，，则。对应的向量为，其模，辐角为；对应的向量为，其模，辐角为。于是的模为， 辐角为。,对应复数. 设任意，则。对应于向量的乘法运算就是设，则对于任意向量，有成立。 二、向量除法定义： 设非零向量的辐角分别为A,B，定义为一个向量： （1）；（2）的辐角等于。其中称为被除向量，为除向量，为商。（3）不能作除向量。 设复数，，则 。设向量，则，辐角为。设向量，则，辐角为。于是的模为。其辐角为 。， 。。其对应的复数恰好为。 由于复数中有倒数概念，我们不妨在向量乘除法中也定义倒向量。设任意非零向量，与横轴正向同向的单位向量为，则向量的倒向量为。 设复数，则其倒数为 。设向量，则，辐角为。该向量的倒向量为，其模为，辐角为。于是 ，。。它对应的复数。 于是除以一个向量就等于乘以该向量的倒向量了。 设复数，，则 。设向量，则，。设向量，则，。于是的模为。。，。。其对应的复数恰好为。 辐角的使用过于繁琐！为了计算简便，我们不妨仿照复数辐角主值定义来定义向量的辐角主值。向量在[0o,360o)内的辐角称为的辐角主值，记为. 设复数，，则 。设向量，则，。设向量，则，。于是的模为。。，。。其对应的复数恰好为。 设，，则。设向量，则，。设向量，则，。于是的模为。。，。。其对应的复数恰好为。这种运算和原来的数乘向量运算是一致的。也就是说在新的向量乘法运算下，不必再单独定义数乘向量运算了。 三、向量乘法和除法的坐标运算： 因为向量的乘法、除法是与复数的乘法、除法相对应的，所以可以利用复数的乘除法定义向量乘除法的坐标运算。 1.(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc). 2.。 设a=(0,2),b=(3,4),求ab。 解：ab=(0×3-2×4,0×4+2×3)=（-8,6）. 2i×(3+4i)=6i+8i2=-8+6i,对应的向量恰好为（-8,6）。 通过以上论述，这样定义的向量乘法和除法与复数的乘法和除法的对应比较完美。至于在现实生活中能否很好应用还不得而知。也许还有许多需要完善的部分，今后随时修正。 关于向量乘法和除法的探索 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$