广东省佛山市第三中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

佛山三中2023-2024学年下学期第一次数学质量检测试卷 高二 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1.已知是各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（ ） A.21 B.81 C.243 D.729 2.曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3.若数列满足，，则（ ） A.511 B.1023 C.1025 D.2047 4.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A.是的极小值点 B. C.函数在上有极大值 D.函数有三个极值点 5.已知函数（为常数），在区间上有最大值20，那么此函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 6.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.设数列的前项和是，令，则称为数列，，…，的“超越数”，已知数列，，…，的“超越数”为（ ） A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 8.已知公比为的正项等比数列，其首项，前项和为，前项积为，且函数在点处切线斜率为1，则错误的是（ ） A.数列单调递增 B.数列单调递减 C.或5时，取值最大 D. 二、多选题 9.下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B.数列是等比数列 C. D.数列是公差为2的等差数列 11.下列函数在定义域上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 12.设函数，则下列说法中正确的是（ ） A.定义域是 B.时，图象位于轴下方 C.存在单调递增区间 D.有且仅有一个极值点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 13.已知等比数列的前项和，则________. 14.某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元/千克）满足关系式，.若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大. 15.记为数列的前项和，已知，则________. 16.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题 17.设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为.已知，，，. （1）求和； （2）若，求正整数的值. 18.已知函数在处有极值. （1）求的极值； （2）若在区间上有三个零点，求实数的取值范围. 19.已知各项均为正数的等比数列的首项，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列的前项和，证明：. 20.某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用全逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%. （1）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式； （2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？ 21.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围. 22.在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. （1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由； （2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式； （2）若正项数列为“数列”，且，，证明：. 佛山三中2023-2024学年下学期第一次数学质量检测试卷 高二 数学 参考答案： 1.C 【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C. 2.B 【详解】由题意可得：，且，故，则切线方程为：，整理可得：. 3.B 【详解】由题意知：， 则有，，，…，，由累加可得，即.故选：B. 4.B 【详解】当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以有，因此选项B正确； 当时，，单调递增，所以在上没有极大值，因此选项C不正确； 当时，，单调递增，因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，所以选项A不正确，选项D不正确，故选：B. 5.B 【详解】由题意，函数，，可得， 令，即，解得或3（舍去）. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时取最小值，而，即最大值为，所以， 所以此函数在区间上的最小值为.故选：B. 6.A 【详解】，， 令，则，而在区间上单调递减，故，故，故选：A. 7.D 【详解】数列，，…，的“超越数”为2020，则， 所以，故数列5，，，…，的“超越数”为：.故选：D. 8.A 【详解】对A：因为， 故，则，，解得，又，且数列是正项数列，故可得，故该数列单调递减，A错误； 对