平面向量知识点与题型总结讲义2024届高三数学二轮复习

平面向量知识点与题型总结 一、题型目录 题型一 平面向量的相关概念……………………………………………………………………………………………2 题型二 平面向量的线性运算……………………………………………………………………………………………3 题型三 平面向量的基本定理……………………………………………………………………………………………4 题型四 平面向量的数量积………………………………………………………………………………………………6 题型五 平面向量的正交分解与坐标运算………………………………………………………………………………8 题型六 以向量为背景的多结论问题与最值问题………………………………………………………………………10 题型七 奔驰定理与三角形的五心问题（提升）………………………………………………………………………14 二、教学内容 题型一 平面向量的相关概念 【基础知识框架】 1.向量的定义：既有大小又有__________的量叫做向量. 2.向量的表示：用有向线段__________或__________表示，但注意有向线段与向量并不等价. 3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作__________或__________. 4.零向量：大小为__________，方向__________的向量. 5.单位向量：大小为__________，方向__________的向量. 6.平行向量（共线向量）：方向__________或__________的两个向量，基线包括__________或__________两种情况. 7.相等向量：大小__________，方向__________的两个向量. 8.相反向量：大小__________，方向__________的两个向量. 【例题分析】 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．与共线，与共线，则与也共线； B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； C．向量与不共线，则与都是非零向量； D．有相同起点的两个非零向量不平行． 2．（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024高一·江苏·专题练习）下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 平面向量的线性运算 【基础知识框架】 1. 向量的加法：首尾相连，由头指尾，即； 2. 向量的减法：起点相同，由后指前，即； 3. 向量的数乘 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做___________，记作___________．它的长度和方向规定如下： (1)； (2)时，的方向与的方向相同；当时，与的方向相反；时，． 4.常见结论 (1),当与共线且_____时，当与共线且_____时，. (2),当与共线且_____时，当与共线且_____时，. (3)在中，记,，，. (4)在中，记,，中点为，则. 【例题分析】 例1．（2023春·广东梅州·高一校联考期中）在平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 例2．（2023春·广东汕头·高一校考期中）在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 例3．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 例4．（2023春·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考阶段练习·多选）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 例5．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）在中，若，则的形状为______. 题型三 平面向量的基本定理 【基础知识框架】 1. 平面向量基本定理：如果是平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有_____对实数,使得； 2. 平面向量的共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使___________． 3. 三点共线：若点三点共线，点不在所在直线上，则存在唯一的与，使得,且. 【例题分析】 考向一 平面向量的基本定理 例1．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知是平行四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 例2．（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（