2024年九年级中考数学复习专题四 规律问题

专题四 找规律问题 一、目标解读 规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格,令人耳目一新,其目的是继续考查学生的创新意识与实践能力,在往年“数字类”、“计算类”、 “图形类”的基础上,又推陈出新,增加了“设计类”与“动态类”两种新题型。综观规律性中考试题，考察了学生收集数据，分析数据，处理信息的能力，在回答此类试题时，要体现“从特殊到一般，从抽象到具体”的思想，要从简单的情形出发，认真比较，发现规律，分析联 想，归纳猜想，推出结论，一举成功。 二、问题探究 问题 1：如图各圆中三个数之间都有相同的规律，根据这个规律，探索第 n 个圆中的 m＝ （用含 n 的代数式表示）． 【分析】 观察图形中的数字发现，上边两个数，右边的数是左边数的 2 倍，下边的数是右上边数的平方加上左上边的数，根据此规律列式整理即可得解． 【解析】 解：∵5＝22+1， 18＝42+2， 39＝62+3， ∴n 右边的数是 2n+1， m＝（2n）2+n＝4n2+n．故答案为：4n2+n． 【归纳总结】 本题考查规律型：数字的变化，解决本题的关键是观察出三个数之间的相互关系．问题 2：观察以下等式： 第 1 个等式：(2 × 1 + 1)2=(2 × 2 + 1)2-(2 × 2)2， 第 2 个等式：(2 × 2 + 1)2=(3 × 4 + 1)2-(3 × 4)2， 第 3 个等式：(2 × 3 + 1)2=(4 × 6 + 1)2-(4 × 6)2， 第 4 个等式：(2 × 4 + 1)2=(5 × 8 + 1)2-(5 × 8)2，…… 按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第 5 个等式： ； (2)写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并证明． 【分析】（1）观察第 1 至第 4 个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第 n 个等式为(2𝑛 + 1)2=[(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 + 1]2- [(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛]2，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【解析】 (1)解：观察第 1 至第 4 个等式中相同位置数的变化规律，可知第 5 个等式为： (2 × 5 + 1)2=(6 × 10 + 1)2-(6 × 10)2，故答案为：(2 × 5 + 1)2=(6 × 10 + 1)2-(6 × 10)2； (2)解：第 n 个等式为(2𝑛 + 1)2=[(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 + 1]2-[(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛]2， 证明如下：等式左边：(2𝑛 + 1)2=4𝑛2+4𝑛+1， 等式右边：[(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 + 1]2-[(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛]2 =[(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 + 1 + (𝑛 + 1) ∙ 2𝑛] ∙ [(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 + 1 − (𝑛 + 1) ∙ 2𝑛] =[(𝑛 + 1) ∙ 4𝑛 + 1] × 1 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1, 故等式(2𝑛 + 1)2=[(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛 + 1]2-[(𝑛 + 1) ∙ 2𝑛]2成立． 【归纳总结】 本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 问题 3：如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1， 0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）…，根据这个规律探索可得第 36 个点的坐标是 ． 【分析】 横坐标为 1 的点有 1 个，纵坐标只是 0；横坐标为 2 的点有 2 个，纵坐标是 0 或 1；横坐标 为 3 的点有 3 个，纵坐标分别是 0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横标为偶 数，则从 0 开始数． 【解析】 解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有 2 个数， 第 n 列有 n 个数．则 n 列共有 𝑛(𝑛+1)个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的 2 顺序由下到上． 因为 1+2+3+…+5+6+7＝28，则第 36 个数一定在第 8 列，由下到上是第 7 个数． 因而第 36 个点的坐标是（8，7）．故答案为：（8，7）． 【归纳总结】 本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 三、总结反思 规律问题这一专题，学生必备知识会观察数与式、图形与坐标变化的规律，会灵活全面地调整观察视角，通过不同观察结果的对比分析，抓住问题的本质，分析出已知、未知条件的联系，察觉出