2024年九年级中考数学复习专题六 一元二次方程根与系数的关系

专题二 一元二次方程根与系数的关系 一、目标解读 《数学新课程标准》2022 版中将根与系数的关系由选学内容改变为必学内容，所以我们要熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能与根的判别式进行综合性应用，一定要注意的是根与系数的关系应用的前提条件是根的判别式为非负数时，我们还要能熟练地应用根与系数的关系在两根之积与两根之和的基础上进行代数式的变形求解。 二、问题探究 问题 1：已知关于 x 的方程 x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0 的两实数根为 x1，x2，若（x1+1）（x2+1） ＝3，则 m 的值为（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3 或 1 D．﹣1 或 3 ( 1 2 )【分析】根据方程 x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0 的两实数根为 x1，x2，得出 x1+x2 与 x1x2 的值，再根据 x 2+x 2＝3，即可求出 m 的值． 【解析】∵方程 x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0 的两实数根为 x1，x2， ∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2， ∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3， ∴m2+2m﹣1+1＝3， 解得：m1＝1，m2＝﹣3， ∵方程有两实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0， 即 m≤ 1， 4 ∴m2＝1（不合题意，舍去）， ∴m＝﹣3；故选：A． 【归纳总结】 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，易错点是求出 m 的值后不进行判别式的检验，导致选C 这个错误的选项。 问题 2：设 x1，x2 是方程 x2+2x﹣3＝0 的两个实数根，则 x12+x22 的值为 ． 【分析】由根与系数的关系，得到 x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，然后根据完全平方公式变形求 值，即可得到答案． 【解析】∵x1，x2 是方程 x2+2x﹣3＝0 的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3， ( 1 2 1 2 1 2 )∴x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；故答案为：10． 【归纳总结】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握 ( 2 )x12+x 2＝（x1+x2）2﹣2x1x2． 问题 3：已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+1＝0 有两个不等实数根 x1，x2． （1） 求 k 的取值范围； （2） 若 x1x2＝5，求 k 的值． 【分析】（1）根据判别式的意义得到 Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到 x1x2＝k2+1，再利用 x1x2＝5 得到 k2+1＝5，然后解关于 k 的方程，最后利用 k 的范围确定 k 的值． 【解析】（1）根据题意得 Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0， 解得 k＞ 3； 4 （2）根据题意得 x1x2＝k2+1， ∵x1x2＝5， ∴k2+1＝5， 解得 k1＝﹣2，k2＝2， ∵k＞ 3， ∴k＝2． 4 【归纳总结】 本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则 x1x2= 𝑐．也考查了根的判别式．易错点是求出 k 值后不进行判别式的检验，导致错解。 𝑎 三、小结反思（知识、方法、思想、素养） ( 𝑎 )设 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，当 Δ≥0 时，则有 x1+x2= − b， x1x2= 𝑐．常见的变形有：x 2+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2。我们利用韦达定理解决问题时一 𝑎 1 般步骤是（1）将一元二次方程变形为一般形式，（2）利用韦达定理求出两根之积与两根之和，（3）直接求解或利用已知条件列出含字母的方程，（4）求出方程 有根的条件进行判断求值。 我们特别要注意韦达定理进行变形时关键是变形出含两根之积与两根之和的式子，韦达定理与其它知识的综合度比较高，特别是与几何知识综合时一定要灵活运用。 四、运用与拓展 拓展 1：若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 . 【解析】 设直角三角形两条直角边分别为 a、b，斜边为 c， ∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个实数根， ∴a+b＝6，ab＝4， ∴斜边 c= √𝑎2 + 𝑏2 = √(𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏 = √62 − 2 × 4 =2√7，故答案为：2√7． 拓展 2：阅读材料： ( 𝑎 )材料 1：若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为 x1，x2，则 x1+x2= − 𝑏， ( 1 2 )x x = 𝑐． 𝑎