7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1 数系的扩充与复数的概念 “数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会，世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。 一、数系的扩充 计数需要 自然数 正整数 零 珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米 吐鲁番盆地大约比海平面低155米 记海拔高度、温度 相反量的需要 负数 等额公平分配的需要，产生了分数 平分问题的需要 分数 毕达哥拉斯 （约公元前560—480年） 1 1 ? 问题：边长为1的正方形的对角线长是多少? 度量计算的需要 无理数 数学小知识：约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机。 有理数 整数 分数 自然数 负整数 正整数 零 无理数 实数 自然数集 整数集 有理数集 实数集 问题1：在自然数集中方程 有解吗？ 问题2：在整数集中方程 有解吗？ 问题3：在有理数集中方程 有解吗？ 问题4：在实数集中方程 有解吗？ 没有实数根 二、复数的概念 我们已经知道： 对于一元二次方程 没有实数根 思考 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到有效解决？ 引入一个新数： 满足 i的引入 卡尔丹Cardano 意大利 1545年，卡尔丹在解三次方程的过程中 第一次大胆使用了负数平方根的概念， 引入负数的平方根； i的引入 16世纪意大利邦贝利 卡兄，我用了你的三次方程求根公式，在求 的解时 ，得到了 ，让人难以置信。 i的引入 i的引入 历史上，新数是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“y”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的. i的引入 1801年 高斯系统使用了i这个符号使之通行于世 二、复数的概念 新数 叫做虚数单位，并规定： （1） （2）实数可以与 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律仍然成立 三.练习 i 0 -i -5 i+4 3- 有理数 整数 分数 自然数 负整数 正整数 零 无理数 实数 自然数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 虚数 四.复数的分类 复数 1.复数集C和实数集R之间有什么关系？ 虚数集 实数集 R 纯虚数集 复数集C 2.实数和虚数之间有什么关系？ 区别：实数可以比较大小，虚数不可以比较大小 四.复数的分类 例1：实数取什么数值时，复数是： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 例题 例题 例2 已知2x＋i-1＝y-3i+yi，求实数x，y的值． 例题 拓展思考： 两个复数可以比较大小吗？ 复数的模可以比较大小吗？ 例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi (5)z5=4a-3ai（a<0） 课堂小结 1. 2. 如果两个复数实部与虚部分别相等，那么就说这两个复数相等 3. 如果两个虚数不能比较大小，两个负数只有虚部为0（即实数）时，才能比较大小。 引入 复数概念的产生 1545年，卡尔丹引入复数的平方根 1637年，笛卡尔给出“虚数”的名称 1777年，欧拉首次使用符合i表示-1的平方根； 1831年，高斯主张用a+bi表示复数 …… $$