2024年中考数学总复习 课件 微专题11　对称性质下的最值问题

对称性质下的最值问题 1 类型1“将军饮马”问题 关于对称性质下的最短距离(线段之和最小),往往归纳为“将军饮马”问题,利用作轴对称将实际问题转化成数学中“两点之间,线段最短”来解决. 1.(2023·深圳福田模拟)如图,MN是☉O的直径,MN=2, ∠AMN=30°,点B是 的中点,点P是直径MN上的动点,则PA+PB的最小值为( B ) 2.(2023·广州花都二模)如图,在△ABC中,点D是BC边上的一点,DC=5BD=5,且△ADC的面积为10,则△ABC的周长的最小值是( D ) A.10 B.12 C.14 D.16 3.(2022·贺州)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E,F分别是AD,AB的中点,∠ADC的平分线交AB于点G,点P是线段DG上的一个动点,则△PEF周长的最小值为　 　.  4.如图,P为△BOA内任一点,在OB上找一点M,在OA上找一点N,使得△PMN的周长最短. 解:如图,作点P关于OA,OB的对称点P″,P',连接P'P″,分别交OA,OB于点N,M,即M,N为所求. 此时△PMN的周长为PM+PN+MN=P″N+MN+P'M≥P'P″, 即最小值为P'P″的长度. 类型2“瓜豆”模型最值 该类问题涉及主动点与从动点,主动点运动的轨迹是什么,那么从动点运动的轨迹就是什么,即所谓“种瓜得瓜,种豆得豆”.该类问题主要有轨迹为圆形(或双曲线)与直线形(若加限制条件可为线段或射线)两种,解答一般步骤为:①找主动点的轨迹;②分析从动点与主动点的关系;③找主动点的起点和终点;④利用相似(或全等)确定从动点的轨迹;⑤根据轨迹确定点与线或点与圆的最值. 5.如图,点P(3,4),☉P半径为2,A(2.5,0),B(5,0),点M是☉P的上的动点,点C是MB的中点,则AC的最大值是 ( C ) 6.(2023·惠州惠城校级二模)如图,在△ABC中, AC=BC=2,∠ACB=120°.点P在以AB为直径的半圆上运动,M为PC的三等分点(靠近点P),当点P沿半圆从点A运动到点B时,点M运动的路径长为( B ) 7.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为  　.  类型3“阿氏圆”型最值 “阿氏圆”型即“PA+kPB”型的最值问题,是近几年中考考查的热点,更是一个难点.当k的值为1时,即可转化为“PA+PB”之和最短问题,就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理;当k取任意不为1的正数时,此类问题的处理通常以动点P的运动轨迹不同来分类,一般分为两类研究,即点P在直线上运动和点P在圆上运动,其中点P在圆上运动的类型称之为“阿氏圆”问题. 1.模型使用情况: 如图1,☉O的半径为r,点A,B都在☉O外,P为☉O上一动点,已知r=kOB,连接PA,PB,则当PA+kPB的值最小时,点P的位置如何确定? 如图2,在线段OB上截取OC,使OC=kr,则可证明△BPO与△PCO相似,即kPB=PC.故求PA+kPB的最小值可以转化为PA+PC的最小值,其中A,C为定点,P为动点,当点P,A,C共线时,PA+PC的值最小,如图3. 2.“阿氏圆”模型解题策略: 第一步:连接动点与圆心O(一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连),即连接OB,OP; 第二步:计算线段OP与OB及OP与OA的线段比,找到线段比为k的情况,如例子中的 8.(2021·大庆龙凤期末)如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,AC=9,BC=4,以点C为圆心,3为半径作☉C,分别交AC,BC于D,E两点,点P是☉C上一个动点,则 PA+PB的最小值为 　 .  9.(天津和平二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEF(C,D,E,F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且CD= ,连接AF,BD. (1)求证:△BDC≌△AFC. (1)证明:如图1,∵四边形CDEF是正方形, ∴CF=CD,∠DCF=∠ACB=90°, ∴∠ACF=∠DCB.又∵AC=CB,∴△BDC≌△AFC(SAS). 类型4“胡不归”模型最值 问题 解法步骤 点A为直线l上一定点,点B为直线l外一定点,点P为直线l上的一动点,要使kAP+BP(0<k<1)的值最小 (1)作角(过点A作∠NAP,使sin∠NAP=k); (2)作垂直(构造直角三角形,在Rt△APE中将kAP转化为PE); (3)化折为直(使得kAP+BP=PE+BP),利用“垂线段最短