二项式定理知识点与题型总结讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

二项式定理知识点与题型总结 教学内容 知识点一 二项式定理 【基础知识框架】 1. 型： （1）直接展开：； （2）根据题目要求求出值，回代求系数（若求常数项，则令次数为___________）； ※常见指数与幂的互化：；；；；；； 2. 型 （1）先写出的展开式； （2）将转化为______________________和______________________； （3）分类讨论，将值回代，结果相加； 3. 型 （1）二次展开：； （2）合并之后根据题目所求解出与的值，回代求系数. ※与的值不一定唯一，要找出临界值，且保持_______. 4. 型： （1）若求具体某一项，则转化为型；（2）若求，则令； （3）若求，则令； （4）若求，则令； （5）若求，则令___________； （6）若求，则令___________； （7）若求，则令___________； 【例题分析】 例1．（上海市六校2023届高三下学期3月联考数学试题）在的展开式中，含有项的系数为__________. 例2．（2023·全国·高三专题练习）展开：__________． 例3．（2023春·江苏·高二阶段练习）的展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 例4．（2023春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）在二项式的展开式中，常数项是，则的值为________. 例5．（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）已知的展开式中项的系数为_______________； 例6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）中常数项是_________．（写出数字） 例7．（2023·全国·模拟预测）设，则______． 例8．（2022春·上海徐汇·高二期末）已知． (1)求的值； (2) 求的值 (3) 求的值 (4) 求的值 (5) 求的值 (6) 求的值 例9．（23-24高三上·河北廊坊·期末）设，且，若能被7整除，则（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 例10．（23-24高二上·甘肃白银·期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 【变式训练】 1．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）在的二项展开式中，项的系数是______． 2．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，的系数是__________． 3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）的展开式中含项的系数为______. 4．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为30，则实数的值为___________． 5．（2022春·江西上饶·高二开学考试）在展开式中，含项的系数为________． 6．（2021春·江苏苏州·高二校考阶段练习）的展开式中常数项是_____． 7．（2023春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）若，则______． 8．（2022·全国·高三专题练习）已知 (1)求； (2)求． 9．（2023·江苏·高二专题练习）已知． (1)求； (2)求； (3)求． 10．（22-23高二上·福建龙岩·期末）设，且，若能被17整除，则等于（    ） A．0 B．1 C．13 D．16 11．（23-24高二上·全国·课时练习）用二项式定理证明能被8整除． 12．（22-23高二下·江苏·单元测试）用二项式定理证明能被64整除（）． 知识点二 二项式定理的性质 【基础知识框架】 （1）若已知所有二项式系数之和为，则令___________，此时； （2）若已知所有奇（偶）次项二项式系数之和为，则令___________，此时； （3）若已知所有系数之和为，则令___________，此时； （4）若已知第项和第项和二项式系数相等，则____________________，此时； （5）若已知第项的二项式系数最大，则_______最大，此时前后各有_______项，； 【例题分析】 例1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______． 例2．（贵州省2023届高三3 3 3高考备考诊断性联考（二）数学（理）试题）的展开式的各项二项式系数之和为32，各项系数和为1，则展开式中的系数为_________. 例3．（2023·全国·模拟预测）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中第3项的系数为______. 例4．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________. 例5．（2022·全国·模拟预测）已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为8