圆锥曲线定值讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线定值问题讲义 1.定值问题的解法 （1）常规解法: 选定参数, 求出题目所需的代数表达式, 然后对表达式进行计算、化简、消参, 从而得到定值. 步骤为: 一选（选好参数）、二求(化简消参）、三定值（得到定值）. （2）特殊解法: 曲线系法, 仿射变换法等. 2.定值问题的处理技巧 （1）思路：可从特殊情况入手 (如直线斜率不存在时）, 求出定值, 再证明这个值与变量无关; （2）运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数, 以利于向目标靠拢. 3.三个定值模型 （1）圆锥曲线定义相关的定值 （2）圆锥曲线垂径定理 （3）椭圆的共轭直径性质 4.八类常见的定值问题 （1）斜率为定值 （2）斜率之和（积）为定值 （3）斜率之比为定值 （4）角度为定值 （5）距离为定值 （6）面积为定值 （7）数量积为定值 （8）系数和为定值 例题讲解 例1．已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，求证：； (3)是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由． 解析（1） 由题意，可设抛物线方程为． 由，得． 抛物线的焦点为，． 抛物线的方程为 （2） 证明：设，， 由于为中点，则， 故当轴时，由抛物线的对称性知，一定有， 当不垂直轴时，设， 由，得， 则 则， 则， 综上证知， ， （3） 设存在直线满足题意， 则圆心， 过作直线的垂线，垂足为， ， 即   ， 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值 因此存在直线：满足题意.    例2．已知椭圆的离心率是，点Q在椭圆上，且，． (1)求椭圆C的方程； (2)如图，设椭圆C的上、下顶点分别为，，P为该椭圆上异于，的任一点，直线，分别交x轴于M，N两点，若直线OT与经过M，N两点的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值． 解析（1）由，得，由椭圆定义可得， 在中，所以可得，解得， 则，所以. 故椭圆的方程为. （2）如图： ，，设， 直线：，令，得； 直线:，令，得； 则，因为，所以， 所以， 由切割线定理得，所以， 即线段OT的长度为定值2． 例3．设异面直线与所成的角为，公垂线段为，且，、分别直线m、n上的动点，且，为线段中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点的轨迹方程． (1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出． (2)为的任意内接三角形，点为的外心，若直线的斜率存在，分别为，，，，证明：为定值． 解析（1）过作直线，则直线的夹角为，令它们确定的平面为，有， 过作，交直线于点，连接，于是，而，则， 取的中点，而是线段的中点，连接，则，， 显然四边形为矩形，，而，因此， 点在移动过程中，点到平面的距离，于是点轨迹所在平面平行于， 点轨迹与点的轨迹形状完全相同，在平面内以直线相交构成的两组对顶角的平分线为坐标轴， 建立平面直角坐标系，其中轴与直线都成，令直线的方程分别为， 设，则，即， 由，得，于是，即， 所以方程为. （2）设，则， 显然中任意两个都不相等，否则外心在轴上，直线斜率不存在，即， 设的外接圆方程为， 得， 两式相减得， 由，得，则有，同理， 两式相减得：，则 因此 ， 所以，即为定值. 例4．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，，为椭圆C的左､右焦点，点P在椭圆C上（不包括端点），当时，的面积为， (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点，，直线，分别与椭圆C交于异于点P的M､N两点，记直线，的斜率分别为，，求的值， 解析（1）当时，将代入椭圆方程可得，解得， 由题意得，解得， 所以的方程为. （2）设， 由于，在椭圆的内部，所以直线都与椭圆有两个交点， 由于在椭圆上，所以， 直线，直线， 联立，消去整理可得， 所以，故， 则，故， 联立，消去整理可得， 所以，故， 则，故， 故， 又，所以， 例5．已知椭圆的下、上顶点分别为，左、右顶点分别为，四边形的面积为，若椭圆上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与交于（异于两点，设直线与直线交于点，探究三角形的面积是否为定值，请说明理由. 解析（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）三角形的面积是定值，理由如下： 由（1）可知：， 因为在椭圆的内部，可知直线与椭圆必相交， 由题意可设：直线， 联立方程，消去x得，， 则，可知， 又因为直线，直线， 联立方程， 解得 ， 即点在直线上， 所以三角形的面积为. 例6．如图，已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为的面积为1.若过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程. (2)证明：三