奥数新起点（6） 第4讲 繁分数（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第4讲 繁分数 繁分数的定义：如分数形式，分子或分母含有分数，或分子与分母都含有分数的数，叫繁分数． 把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简． 分子和分母中还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数。繁分数的运算过程就是化简的过程，要分别对分子和分母逐步进行计算，这需要扎实的基本功：概念清楚，运算迅速正确，而且还需要探索和掌握一些灵活的解题方法，化“繁”为“简”。 化复杂为简单：繁分数的分子或分母部分若含有加减运算，则先加减运算再按繁分数化简方法进行化简．繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简． 【模块一：知识点拨】 繁分数化简的基本方法： 1、可利用分数与除法的关系把繁分数写成分子除以分母的形式． 2、利用分数的基本性质，去掉分子、分母上分数后化为最简分数．一般情况下，分子、分母所乘上的适当非零整数为分子、分母部分的两个分数分母的最小公倍数． 繁分数化简一般采用以下两种方法： （1）先找出中主分线，确定出分母部分和分子部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计算结果，能约分的要约分，最后写成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出最后结果．[来源:学,科,网Z,X,X,K] （2）繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数． 【模块二：精讲精练】 【例1】     分析：在这道题目中，分母都含有算式，我们不妨先将分母进行计算整理，看一看能不能发现规律。然后考虑运用一些计算的法则、技巧算出结果。 解答：原式= = =2×（） =2×（） =2×（） = 说明：有些题目一开始虽然看不出能利用简便方法进行计算，我们可以先按照计算的顺序进行计算整理，在计算过程中，随时发现可以简便计算时再进行简便计算。例如此题，开始时完全按照计算的方法将分母进行计算整理，然后，根据分数与除法的关系，将此题转变为分子是2的繁分数，再根据乘法分配率，将2提出，再将括号中进行整理后，得到结果。 【例2】计算： 【分析】知识点：多层繁分数化简，找到主分数线后，从最低层开始化简。 【解答】原式=。 【课堂精炼】 1. 计算： 分析：观察分子和分母，会发现它们有各自的规律可循。分母的数列排列的规律是从1加到10再加回到1，计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10，分子的规律注意是两个和相减，可以根据减法性质将括号打开进行计算。 解答：分母=（1+2+3+…+10）×2-10=100 分子=2 = =（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+…+（100-99）（100+99） =3+7+11+…+199 =（3+199）×50÷2 =101×50 所以，原式== 说明：在繁分数计算时,不要一味”傻算”、”硬算”，可以先找规律，再运用学过的各种运算技巧进行计算。另外，本例应用了一个非常重要的代数公式平方差公式，即：。下一讲中将对它进行更详细的介绍。 2. 计算： 【解答】原式===。 3. 解：原式= 【例3】已知：，则等于多少？ 【分析】知识点：解繁分数方程，两边多次同时取倒数。 【解答】有，得， ，则 ， ， 所以。 【例4】计算： 【分析】知识点：繁分数结合分数数列求和。 难度：C 出处：2012春季五年级竞赛底稿 【解答】原式 【课堂精炼】 1. 为正整数，满足算式，求。 【解答】因为，，所以，则为真分数， 所以。 则 即，同理有，则， 所以，。则。 2. 计算： 解：原式 【例5】计算 解：分子= 分母= 所以原式=1。 【例6】 计算 解：原式= =6 【课堂精炼】 1. 计算 解：原式分子= 原式分母= 原式=2 2. 计算 解：原式= =2 【模块三：阅读拓展】 月球历险记 前言：公元2888年的一天，月球人类基地被外星人控制，月球上的“天穹”防卫层突然开启，切断了与地球的联系，解救月球的唯一办法就是月球上的人类从内部关闭“天穹”系统…… 迷你小飞船“星宇婷”号 暑假里，跟往年一样，张星、李宇、赵婷来到月球看望在基地工作的父母，单调枯燥的月球基地生活让三个好动的小家伙混身难受。 “地球上看月球美得像天宫，可呆在月球上却像坐牢。”赵婷抱怨道。 “要不，我们‘偷’艘小飞船来次环月旅行如何？”张星是飞船设计师的儿子，从小就跟在爸爸身后学习飞船的设计。 “这飞船也是不是你家的自行车啊，就算搞到飞般，你会驾驶吗？”李宇捧着一本厚厚的《百科全书》不屑地答道。 张星拿出一本飞船使用说明书得意道：“这艘飞船是我和我爸刚刚研制出来的最新款迷你小飞船，就在实验室里，还没试飞呢。” “你研制的？你就吹吧，反正也不用你交税。”李宇和