陕西省西安市部分学校2023-2024学年高三下学期二模考试理科数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试（理科） 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。 2．请将各题答案填写在答题卡上。 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ） （参考公式，棱台的体积，其中分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高） A． B． C． D， 5．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．在中，内角的对边分别是，且的面积，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A．248种 B．168种 C．360蚛 D．210种 9．已知函数，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象与直线的两个相邻交点是，若，则（ ） A．1 B．1或7 C．2 D．2或6 11．如图，在矩形中，分别在线段上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 12．如图，已知双曲线的左，右焦点分别为，点在上，点在轴上，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D．3 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，且，则向量的夹角是_______． 14．设实数满足不等式组，则的最大值是_______． 15．若一组数据的平均数为3，方差为，则这6个数的平均数为_______，方差为_______． 16．已知函数满足，则_______． 三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成这6组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数； （2）若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列与期望． 18．（12分） 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）证明：． 19．（12分） 如图，在三棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面． （2）若，点满足，求二面角的大小． 20．（12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为．右顶点为，的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点且斜率大于0的直线交椭圆于两点，线段的中点为，若，求直线与直线的斜率之的的最小值． 21．（12分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，且在上单调递减，求的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为报轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是． （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若，直线与曲线交于两点，求的值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数的最小值是． （1）求的值； （2）若，且，证明：． 2024年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案（理科） 1．D 因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限． 2．A 由题意可得，则． 3．C 因为，所以． 4．A 四羊方尊的容积约为． 5．B 设，则解得，则． 6．C 由余弦定理可得，所以，则．因为，所以，所以．因为，所以，所以，所以． 7．A ． 8．D 不同的分法有种． 9．D 由题可知的定义域为，所以在上单调递增，由，可得，即，故的取值范围是． 1