6.2.4向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 向量的数量积 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 教学目标 平面向量数量积的概念、物理意义及其几何性质；向量投影的概念，投影向量的意义 教学重点 教学难点 平面向量数量积的概念及其几何性质，投影向量的意义 前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 课前思考 新课导入 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功__________________________. 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？ 受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. (其中与的夹角) 一、向量的夹角： 已知两个非零向量，，是平面上的任意一点， 作 ， , 则叫做向量与的夹角. 注：1.向量的夹角可表示为<>； 2.向量夹角范围是. θ 与同向 与垂直，记作 与反向 < < < 新知探究 新知探究 已知两个非零向量 ，它们的夹角为θ，把数量 做向量 的数量积(或内积)，记作 ，即 规定，零向量与任何向量的数量积等于0. O A B θ ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. 强调: ②数量积的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 二、向量的数量积： 新知探究 四、向量数量积的性质 设 ，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1) ·e＝e· ＝| |cosθ. (2) ⊥b⇔__________ (3)当 与b同向时， ·b＝| ||b|； 当 与b反向时， ·b＝－| ||b|．特别地， · ＝ | |2或| |＝ . (4)| ·b|≤| ||b|. 新知探究 例9 已知，，与的夹角，求. 例10 设，，求与的夹角. 变式：已知，求. 求数量积 求夹角 求模长 学以致用 解： 解：由，得 因为，所以 解： 所以 新知探究 五、向量的运算律： 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立: 对于向量和实数，有 (1) (2) (3) 思考1 思考2 设是向量，一定成立吗？为什么？ 例11 我们知道，对任意，恒有.对任意向量，，是否也有下面类似的结论？ (1). 解：(1) ； (2) 因此，上述结论是成立的. 完全平方公式、平方差公式 学以致用 例12　已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a+2b）∙（a-3b）. 学以致用 解： = = = = = 例13　已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线.当k为何值时，向量a+ kb与a-kb互相垂直. 解：向量的充要条件为 ∵ 已知 ∴ ∴ 满足 解得 故当时，向量 相互垂直 本节课我们学习了哪些内容？ 1.认识与理解了两向量的夹角、向量数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象） 2.理解与掌握了向量数量积的性质及其运算律，能利用数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理） 课堂小结 课堂巩固 3.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝（ ） 2.已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为（ ） C C B A.120° B.60° C.30° D.45° D 5.(多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是( ) A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C.若a⊥b，则a·b＝0 CD 7.已知，，在方向上的投影向量. 解：向量在向量上的投影为 所以向量在向量上的投影向量为： 为向量的单位向量，即 所以向量在向量上的投影向量为：= = = 向量a在向量b上 三、向量a在b上的投影向量 (1)设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(CD,\s\up17(―→))＝b，我们考虑如下的变换：过