2024年中考数学二轮复习—二次函数之线段和差最值 讲义

二次函数之线段和差（a±b型）最值 一．例题 1．如图1，点A（a，0），B（0，b），a，b满足，抛物线经过A，B两点，点C（﹣1，0）关于点B的对称点M刚好落在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PF∥x轴交直线AB于点F，过点P作PE∥BC交x轴于点E，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标； 解：（1）∵， ∴， ∴a＝3，， 又∵点A（a，0），B（0，， ∴A（3，0），B（0，， ∵点C（﹣1，0）和点M关于点B（1，对称，设点M（x，y）， ∴， 解得， ∴M（1，； 设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，由A（3，0），B（0，，M（1，三点在二次函数上，则 ， 解得 ∴该抛物线的解析式为； （2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q， 设P（a，（0＜a＜3），则 设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（3，0），B（0，代入，得 ，解得， ∴直线AB的解析式为， ∵PF∥x轴交直线AB于点F， ∴， ∴x＝2a2﹣5a， ∴PF＝a﹣（2a2﹣5a）＝﹣2a2+6a（0＜a＜3）， ∵PE∥BC，PQ⊥x轴于点Q， ∴∠PEA＝∠BCO，∠PQE＝∠BOC＝90°， ∴△PQE∽△BOC， ∴， 又∵Rt△BOC中，， ∴， ∴， ∴， ∵，且0＜a＜3 ∴时，PE+PF的值最大，为； 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线）经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，则|DC﹣DB|的最大值是 　 　； 解：（1）对于y＝4x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣1， 故点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，4）， 则，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）作点C关于抛物线的对称轴的对称点T（2，4），连接BT并延长BT交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求点，理由： 由点的对称性知，CD＝TD，则|DC﹣DB|＝|DT﹣DB|＝BN最大， 由点B、T的坐标得，BT， 故|DC﹣DB|的最大值为：， 故答案为：； 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交BC于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK+PD的最大值； 解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2中得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）在中，当x＝0时，y＝﹣2， ∴C（0，﹣2） 设直线BC的解析式为y＝kx+b′， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，PK+PD的最大值为； 4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB﹣PC|最大，求点P的坐标． 解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c， ∴，解得， ∴y＝x2﹣x﹣2； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作C点关于对称轴的对称点C′，连接BC′并延长与对称轴交于点P， ∵CP＝C′P， ∴|PB﹣PC|＝|PB﹣PC′|≤BC′，此时|PB﹣PC|有最大值， ∵C（0，﹣2）， ∴C′（1，﹣2）， 设直线BC′的解析式为y＝kx+m， ∴，解得， ∴y＝2x﹣4， ∴． 5．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点B，C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0），△ABC面积为6． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标； 解：（1）∵点A（0，4）， ∴OA＝4， ∵△ABC面积为6， ∴BC×4＝6， ∴BC＝3， ∵C（4，0）， ∴B（1，0）， 将A（0，4），B（1，0），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣5x+4； （2）∵A（0，4），C（4，0）， ∴OA＝CO＝4， ∴∠OAC＝45°， ∵PQ∥OA， ∴∠PQH＝45°， ∵PH⊥AC， ∴PH＝QHPQ， ∴△PHQ周长＝QH+PH+PQ＝（1）QP， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得，