专题05 期中解答题-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期中真题分类汇编（沪教版2020选择性必修第一册，上海专用）

专题05 期中解答题 题型1：坐标平面上的直线 1．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线：与直线：. (1)若与垂直，求实数m的值； (2)若与平行，求实数m的值. 2．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和. (1)讨论直线与的位置关系； (2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值. 3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）设直线的方程为. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 4．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知直线和， (1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹； (2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程． 题型2：圆锥曲线（第17-19题） 5．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积. 6．（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）已知抛物线的焦点为F（2，0）. (1)求抛物线C的方程； (2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的长. 7．（22-23高二上·广东广州·期末）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程. 8．（21-22高二下·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，(为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与圆相切，求实数的值． 9．（21-22高二下·上海黄浦·期中）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，. (1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离； (2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率. 10．（21-22高二下·上海金山·期中）已知 ， 如图， 曲线 由曲线 和曲线 组成，其中点 为曲线 所在圆锥曲线的焦点， 点 ， 为曲线 所在圆锥曲线的焦点 (1)若 ， 求曲线 的方程; (2)如图， 作斜率为正数的直线 平行于曲线 的渐近线， 交曲线 于点 ， 求弦 的中点 的轨迹方程； 11．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和. (1)求椭圆的标准方程； (2)是轴正半轴上的一点，求的最大值. 12．（23-24高二上·上海杨浦·期中）如图，设直线l为公海与领海的分界线，一巡逻艇在A处发现了海面B处有一艘走私船，A与公海相距20海里.走私船可能向任一方向逃窜，若它进入公海则逃脱成功.假设走私船和巡逻艇都是沿直线航行，巡逻艇的航速是走私船航速的倍. (1)当，，时，走私船能被截获的点在一个圆上，求这个圆的标准方程； (2)可知非截获区域是一个圆的内部，如果此圆和分界线l没有公共点，则巡逻艇可以成功截获走私船.已知B在A的北偏东，相距海里处，为了成功截获走私船，求的最小整数值. 题型3：数列（第17-19题） 13．（23-24高三上·上海·期中）已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列、的通项公式． 14．（23-24高三上·上海松江·期中）已知数列是公差为正的等差数列，其前项和为；各项都为正数的等比数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 15．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知数列满足，，，（n为正整数）， (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，（n为正整数），是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有? 16．（22-23高二下·上海闵行·期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． (1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）． 17．（21-22高二上·上海浦东新·期中）已知数列有递推关系 (1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值； (2)求的通项公式. 题型4：计数原理 18．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式的所有有理项，