2024年澳大利亚数学竞赛试题

2024年澳大利亚数学奥林匹克 程国根译 第一天 1,求所有三元正整数组（依，m,),使得 十m=knl 2.设ABCD为圆内接四边形，点P在直线CB上，满足CP=CA, 且点B在C,P之间，点Q在直线CD上，满是CQ=CA,且点D 在C,Q之间，求证：△ABD的内心在直线PQ上， 3.设n之2,1,2，…，am为正实数，对(@1,2，·，an)的一个排列 (1,b:·,6),定义其分数为 觉经 台 求证：存在(@1，ag+…,a)的两个排列。它们的分数不超过3到a1 4.考虑一个2024×2024的方格网，如果两个不同的单元格有一条共 同边，那么称它们是相邻的·将每个单元格染为黑。白二色之一，如果 方格网中的每个单元格都与偶数个黑色单元格相常，那么称这种牵色方 式是数的，求偶数的染色方法总数， 1 2024年澳大利亚数学奥林匹克 程国根译 第二天 5,正整数数列a4,2,+·,a定义如下：a=2+1,且对1≤ n≤2024，an+1为o2一1的最大素因子，求24+0s的值 6.一所学校有一年级到十二年级，每个年级有1000名的学生，学校有 12000个结物柜，编号为1到12000.校长要求给每个学生分配白已的 储物柜，以浅足以下第件：对于同一年级的每一对学生，他们的储物柜 编号之差必须能被他们的年级编号整除，校长的要求能被满足吗？ T,设ABCD为矩形，P为边AB上一点，点Q在矩形外部，满足 ∠ABQ=∠ADP,∠AQB=90r,点R在边C上，满足∠BAR= ∠ADQ,求证：AR,CQ,DP三线共点， 8.设实数r=0dd山·+用en表示将数码dn,dn-…,6从左到 右写成的数字（允许最高位为零）.已知4=6，且对任意n≥0，m恰 等于品的末n+1位组成的数学.求证：r为无理数。 2