2024年中考数学（北师大版）二轮复习专题特训：圆中辅助线的添加课件

专题特训　圆中辅助线的添加 类型一　作（找）垂径，构造直角三角形 1. （2023·苏州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，O是边AC上一点，以OA的长为半径的☉O交AB于点D.若BD＝2，AD＝AC，则线段OB的长为（　B　） A. 2 B. 3 C. 2 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，☉P与x轴交于点A（－5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　B　） A. ＋ B. 2＋ C. 4 D. 2＋2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. （2022·凉山州）如图，☉O的直径AB经过弦CD的中点H.若 cos∠CDB＝，BD＝5，则☉O的半径为 　⁠​ 　⁠. （第3题） ⁠​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型二　作（找）直径，构造直角三角形 4. （2022·山西）如图，△ABC内接于☉O，AD是☉O的直径.若 ∠B＝20°，则∠CAD的度数是（　C　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. （2023·济南模拟）如图，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（6，0），☉D过A，B，O三点，C为优弧OAB上一点（不与点O，B重合），则cosC的值为 　 ⁠​⁠. ⁠​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，AB是☉O的直径，C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF. （1） 求证：△BFG≌△CDG. 解：（1） ∵ C为的中点，∴ ＝.∵ AB是☉O的直径，且CF⊥AB，∴ ＝.∴ ＝. ∴ BF＝CD.在△BFG和△CDG中，∴ △BFG≌△CDG. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 若AD＝BE＝2，求BF的长. 解：（2） 如图，过点C作CH⊥AD，交AD的延 长线于点H，连接AC，BC.∵ ＝， ∴ ∠HAC＝∠BAC，CD＝CB. ∴ AC为∠HAB的平分线.∵ CH⊥AD，CE⊥AB， ∴ CH＝CE. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第6题答案） 在Rt△AHC和Rt△AEC中， ∴ Rt△AHC≌Rt△AEC.∴ AH＝AE.在Rt△CDH和Rt△CBE中，∴ Rt△CDH≌Rt△CBE.∴ DH＝BE＝2. ∴ AE＝AH＝AD＋DH＝4.∴ AB＝AE＋BE＝6.∵ AB是☉O的直径， ∴ ∠BCA＝90°.∵ ∠BEC＝∠BCA＝90°，∠EBC＝∠CBA， ∴ △BEC∽△BCA.∴ ＝.∴ BC2＝BA·BE＝6×2＝12. ∴ BC＝2.∵ ＝，∴ BF＝BC＝2. （第6题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型三　遇切线——连半径，得垂直 7. （2022·湖州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边AB上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F. （1） 求证：OF＝EC. 解：（1） 连接OE.∵ AC与半圆O相切于点E， ∴ OE⊥AC.∴ ∠OEC＝90°.∵ OF⊥BC，∴ ∠OFC＝90°. ∵ ∠C＝90°，∴ ∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°. ∴ 四边形OFCE是矩形.∴ OF＝EC. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长. 解：（2） ∵ BD＝2，∴ OD＝BD＝1.∴ OE＝1. ∵ ∠A＝30°，OE⊥AC，∴ AO＝2OE＝2. ∴ AD＝AO－OD＝2－1＝1. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型四　证切线——连半径，证垂直 8. （2023·遂宁改编）如图，四边形ABCD内接于☉O，AB为☉O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N，且∠ADM＝∠DAC.求证： （1） MN是☉O的切线. 解：（1） 如图，连接OD交AC于点H.∵ AD＝CD， ∴ ＝.∴ 易得OD⊥AC.∴ ∠AHO＝90°. ∵ ∠ADM＝∠DAC，∴ AC∥MN.∴ ∠MDO＝∠AHO＝90°. ∴ OD⊥MN.∵ OD是☉O的半径，∴ MN是☉O的切线. （第8题） （第8题答案） （第8题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） AD2＝AB·CN. 解：（2） 如图，连接BD.∵ AB为☉O的直径， ∴ ∠ADB＝∠ACB＝90°.∵ AC∥MN， ∴ ∠ACD＝∠CDN，∠CND＝∠ACB＝90°＝∠ADB. ∵ ＝，∴ ∠ACD＝∠ABD.∴ ∠CDN＝∠ABD. ∴ △CDN∽△ABD.∴ ＝.∵