2024年中考数学（北师大版）二轮复习专题特训：抛物线与几何图形的最值问题课件

专题特训　抛物线与几何图形的最值问题 类型一　抛物线与线段的最值问题 1. （2023·武威改编）如图①，抛物线y＝－x2＋bx与x轴交于点O，A，与直线y＝－x交于点O，B（4，－4），点C（0，－4）在y轴上. （第1题） 1 2 3 4 （1） 求抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ 抛物线y＝－x2＋bx过点B（4，－4）， ∴ －16＋4b＝－4，解得b＝3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋3x. （2） 如图②，点P从点B出发，沿线段BO的方向匀速运动，到点O时停止运动，另有一点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值. 解：（2） 如图②，连接BC，在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，连接BM.∵ B（4，－4），C（0，－4），∴ OC＝BC＝4，BC⊥OC.∴ 易得∠CBP＝∠COB＝45°.∴ ∠CBP＝∠MOQ.由题意， 得BP＝OQ，又∵ ∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，∴ △CBP≌△MOQ. ∴ CP＝MQ.∴ CP＋BQ＝MQ＋BQ.∴ 当M，Q，B三点共线时，MQ＋BQ取得最小值，最小值为MB的长.∴ CP＋BQ的最小值为MB的长. ∵ ∠BOQ＝90°－∠COB＝45°，∴ ∠MOB＝∠MOQ＋ ∠BOQ＝45°＋45°＝90°.∵ OM＝BC＝4， OB＝＝4，∴ MB＝＝ ＝4，即CP＋BQ的最小值为4. 1 2 3 4 2. （2022·常德）如图，抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2. （1） 求抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ 抛物线过点O（0，0），且它的对称轴为直线x＝2，∴ 抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）.设抛物线对应的函数表达式为y＝ax（x－4）（a≠0）. 把A（5，5）代入，得5a＝5，解得a＝1. ∴ y＝x（x－4）＝x2－4x. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2－4x. （第2题） 1 2 3 4 （2） 若B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求点B的坐标. 解：（2） 由B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，可设 B（2，m）（m＞0）.设直线OA对应的函数表达式为y＝kx（k≠0）. 把A（5，5）代入，得5k＝5，解得k＝1.∴ 直线OA对应的函数表达式为y＝x.设直线OA与抛物线的对称轴交于点H，则易得H（2，2）. ∴ BH＝｜m－2｜.∵ ＝15，∴ ×｜m－2｜×5＝15， 解得m1＝8，m2＝－4（不合题意，舍去）. ∴ 点B的坐标为（2，8）. （第2题） 1 2 3 4 （3） 在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，求点P的坐标以及PA－PB的最大值. 解：（3） 由PA－PB≤AB可知，当点P在线段AB的延 长线上时，PA－PB取最大值，最大值为AB的长.设直线 AB对应的函数表达式为y＝nx＋d（n≠0）.把A（5，5）， B（2，8）分别代入，得解得 ∴ 直线AB对应的函数表达式为y＝－x＋10. 令x2－4x＝－x＋10，解得x1＝－2，x2＝5（不合题意，舍去）.对于y＝－x＋10，当x＝－2时，y＝12. ∵ A（5，5），B（2，8）， ∴ 易得AB＝＝3. ∴ 点P的坐标为（－2，12），PA－PB的最大值为3. （第2题） 1 2 3 4 类型二　抛物线与面积的最值问题 3. （2022·广东）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A（1，0），B两点（点B在点A的左侧），AB＝4，连接AC，BC，P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q，连接PC.求： （1） 抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ A（1，0），AB＝4，∴ B（－3，0）.将 A（1，0），B（－3，0）分别代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋2x－3. （第3题） 1 2 3 4 （2） △CPQ面积的最大值及此时点P的坐标. 解：（2） ∵ y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，∴ C（－1，－4）. 设P（m，0）（－3≤m≤1），则AP＝1－m.∵ PQ∥BC， ∴ ∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB.∴ △APQ∽△ABC. ∴ ＝＝＝.∵ S△ABC＝×4×4＝8， ∴ S△APQ＝8×＝. ∴ S△CPQ＝S△APC－S△APQ＝×（1－m）×4－＝－（m＋1）2＋2. ∵ －＜0，－3≤m≤1， ∴ 当m＝－1时，取最大值，最大值为2，此时点P的坐标为（－1，0）. （第3题） 1 2 3 4 4. （2023·荆州）已知y关